1. ପରିଚୟ

ପୂର୍ବ ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆପଣ ତଥ୍ୟର ସାରଣୀ ଓ ଚିତ୍ର ରୂପରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ବିଷୟରେ ପଢ଼ିଛନ୍ତି। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆପଣ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ମାପ ବିଷୟରେ ପଢ଼ିବେ, ଯାହା ତଥ୍ୟକୁ ସଂକ୍ଷେପରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ ଏକ ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତି। ଆପଣ ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ବଡ଼ ତଥ୍ୟସେଟକୁ ସଂକ୍ଷେପ କରିବାର ଉଦାହରଣ ଦେଖିପାରିବେ, ଯେପରି ଏକ ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ପରୀକ୍ଷାରେ ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇଥିବା ହାରାହାରି ନମ୍ବର, ଏକ ଅଞ୍ଚଳର ହାରାହାରି ବର୍ଷା, ଏକ କାରଖାନାର ହାରାହାରି ଉତ୍ପାଦନ, ଏକ ସ୍ଥାନରେ ରହୁଥିବା ବ୍ୟକ୍ତିମାନେଙ୍କର ହାରାହାରି ଆୟ କିମ୍ବା ଏକ ସଂସ୍ଥାରେ କାମ କରୁଥିବା ଲୋକମାନେଙ୍କର ହାରାହାରି ଆୟ ଇତ୍ୟାଦି।

ବାଇଜୁ ଜଣେ ଚାଷୀ। ସେ ବିହାରର ବକ୍ସର ଜିଲ୍ଲାର ବାଲାପୁର ନାମକ ଗାଁରେ ନିଜ ଜମିନରେ ଖାଦ୍ୟ ଶସ୍ୟ ଉତ୍ପାଦନ କରନ୍ତି। ଏହି ଗାଁରେ ୫୦ ଜଣ କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାଷୀ ଅଛନ୍ତି। ବାଇଜୁଙ୍କର ୧ ଏକର ଜମିନ ଅଛି। ଆପଣ ବାଲାପୁରର କ୍ଷୁଦ୍ର ଚାଷୀମାନେଙ୍କର ଆର୍ଥିକ ଅବସ୍ଥା ଜାଣିବାକୁ ଇଚ୍ଛୁକ। ଆପଣ ବାଲାପୁର ଗାଁରେ ବାଇଜୁଙ୍କର ଆର୍ଥିକ ଅବସ୍ଥାକୁ ତୁଳନା କରିବାକୁ ଚାହାଁନ୍ତି। ଏଥିପାଇଁ ଆପଣଙ୍କୁ ତାଙ୍କର ଜମିନ ପରିମାଣକୁ ବାଲାପୁରର ଅନ୍ୟ ଚାଷୀମାନେଙ୍କ ଜମିନ ପରିମାଣ ସହିତ ତୁଳନା କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଆପଣ ଦେଖିବାକୁ ଚାହାଁନ୍ତି ଯେ ବାଇଜୁଙ୍କର ଜମିନ —

1. ସାଧାରଣ ଅର୍ଥରେ ହାରାହାରିଠାରୁ ଉପରେ ଅଛି କି (ଦେଖନ୍ତୁ ପ୍ରାର୍ଥମେଟିକ ମିଡ଼ିଆନ୍)
2. ଅଧା ଚାଷୀଙ୍କର ଜମିନ ପରିମାଣଠାରୁ ଉପରେ ଅଛି କି (ଦେଖନ୍ତୁ ମଧ୍ୟମା)
3. ଅଧିକାଂଶ ଚାଷୀଙ୍କର ଜମିନ ପରିମାଣଠାରୁ ଉପରେ ଅଛି କି (ଦେଖନ୍ତୁ ବହୁଳ)

ବାଇଜୁର ଆପେକ୍ଷିକ ଆର୍ଥିକ ଅବସ୍ଥାକୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ, ଆପଣଙ୍କୁ ବାଲାପୁର ଚାଷୀମାନେଙ୍କ ଜମି ଧାରଣ ସମ୍ପର୍କିତ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ତଥ୍ୟକୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରିବାକୁ ପଡିବ। ଏହା କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି (central tendency) ବ୍ୟବହାର ଦ୍ୱାରା କରାଯାଇପାରେ, ଯାହା ତଥ୍ୟକୁ ଏକମାତ୍ର ମୂଲ୍ୟରେ ଏପରିକି ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରେ ଯେ ଏହି ଏକମାତ୍ର ମୂଲ୍ୟ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ତଥ୍ୟକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିପାରେ। କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ମାପ ଏକ ପ୍ରକାର ସଂକ୍ଷିପ୍ତକରଣ ପଦ୍ଧତି ଯାହା ତଥ୍ୟକୁ ଏକ ସାଧାରଣ କିମ୍ବା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱମୂଳକ ମୂଲ୍ୟ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରେ।

କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି କିମ୍ବା “ହାରାହାରି” ପାଇଁ ବହୁ ସଂଖ୍ୟକ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ମାପ ଉପଲବ୍ଧ ଅଛି। ସବୁଠାରୁ ଅଧିକ ବ୍ୟବହୃତ ତିନି ହାରାହାରି ହେଉଛି:

• ପ୍ରାଥମିକ ହାରାହାରି (Arithmetic Mean)
• ମଧ୍ୟମା (Median)
• ବହୁଳକ (Mode)

ଆପଣ ଜାଣିବା ଉଚିତ ଯେ ଆଉ ଦୁଇଟି ହାରାହାରି ଅଛି, ଅର୍ଥାତ୍ ଜ୍ୟାମିତିକ ହାରାହାରି (Geometric Mean) ଓ ହାର୍ମୋନିକ ହାରାହାରି (Harmonic Mean), ଯାହା ନିର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଟ ପରିସ୍ଥିତିରେ ଉପଯୁକ୍ତ ହୋଇଥାଏ। ତଥାପି, ବର୍ତ୍ତମାନ ଆଲୋଚନା ଉପରେ ଉଲ୍ଲେଖିତ ତିନି ପ୍ରକାର ହାରାହାରି ଉପରେ ସୀମିତ ରହିବ।

2. ପ୍ରାଥମିକ ହାରାହାରି (Arithmetic Mean)

ଧରନ୍ତୁ ଛଅଟି ପରିବାରର ମାସିକ ଆୟ (ଟଙ୍କାରେ) ଏପରି ଦିଆଯାଇଅଛି: 1600, 1500, 1400, 1525, 1625, 1630।

ହାରାହାରି ପରିବାର ଆୟ ସମସ୍ତ ଆୟକୁ ଯୋଗ କରି ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିଲେ ମିଳେ।

$=\frac{1600+1500+1400+1525+1625+1630}{6}$

= ଟଙ୍କା 1,547

ଏହା ଅର୍ଥ କରେ ଯେ ହାରାହାରିରେ ଏକ ପରିବାର ଟଙ୍କା 1,547 ରୋଜଗାର କରେ।

ପ୍ରାଥମିକ ହାରାହାରି ହେଉଛି ସବୁଠାରୁ ଅଧିକ ବ୍ୟବହୃତ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ମାପ। ଏହାକୁ ସମସ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣର ମୂଲ୍ୟର ଯୋଗଫଳକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି ସୂଚିତ କରାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ ସାଧାରଣତଃ $\overline{\mathrm{X}}$ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ। ସାଧାରଣତଃ, ଯଦି $\mathrm{N}$ ଟି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ $X_1,X_2,X_3$, …, $X_N$ ଅଛି, ତେବେ ପ୍ରାଥମିକ ହାରାହାରି ଏପରି ଦିଆଯାଏ

$$ \bar{X}=\frac{X {1}+X{2}+X {3}+\ldots+X{N}}{N} $$

ଡାହାଣ ପକ୍ଷକୁ $\frac{\sum {i=1}^{N} \mathrm{X}{i}}{\mathrm{~N}}$ ଭାବେ ଲେଖାଯାଇପାରେ। ଏଠାରେ, $\mathrm{i}$ ଏକ ସୂଚକ ଯାହା କ୍ରମାଗତ ମାନ 1,2 , $3, \ldots \mathrm{N}$ ନେଇଥାଏ।

ସୁବିଧା ପାଇଁ, ଏହାକୁ ସୂଚକ i ବିନା ସରଳ ରୂପରେ ଲେଖାଯିବ। ଏହିପରି ଭାବେ $\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}$, ଯେଉଁଠାରେ, $\Sigma \mathrm{X}=$ ସମସ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣର ଯୋଗଫଳ ଏବଂ $\mathrm{N}=$ ମୋଟ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା।

ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ କିପରି ଗଣନା କରାଯାଏ

ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ର ଗଣନାକୁ ଦୁଇଟି ବୃହତ୍ ଶ୍ରେଣୀରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଇପାରେ:

1. ଅସଂଗୃହୀତ ତଥ୍ୟ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ଗଡ଼।
2. ସଂଗୃହୀତ ତଥ୍ୟ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ଗଡ଼।

ଅସଂଗୃହୀତ ତଥ୍ୟ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ଗଡ଼

ସିଧାସଳଖ ପଦ୍ଧତି

ସିଧାସଳଖ ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ ହେଉଛି ଏକ ଶ୍ରେଣୀରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣର ଯୋଗଫଳକୁ ମୋଟ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବା।

ଉଦାହରଣ 1

ଏକ ବର୍ଗରେ ଅର୍ଥନୀତି ପରୀକ୍ଷାରେ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ନମ୍ବର ଦେଖାଉଥିବା ତଥ୍ୟରୁ ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ ଗଣନା କରନ୍ତୁ: $40,50,55$, $78,58$।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\frac{\Sigma \mathrm{X}}{\mathrm{N}} \ & =\frac{40+50+55+78+58}{5}=56.2 \end{aligned} $$

ଅର୍ଥନୀତି ପରୀକ୍ଷାରେ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ହାରାହାରି ନମ୍ବର 56.2 ଅଟେ।

ଧାରଣା କରାଯାଇଥିବା ଗଡ଼ ପଦ୍ଧତି

ଯଦି ତଥ୍ୟରେ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ଅଧିକ ଏବଂ/କିମ୍ବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ବଡ଼ ହୁଏ, ସିଧାସଳଖ ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ ଗଣନା କରିବା କଷ୍ଟକର ହୁଏ। ଧାରଣା କରାଯାଇଥିବା ଗଡ଼ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନାକୁ ସହଜ କରାଯାଇପାରେ।

ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାର ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଓ ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାକ ଅଙ୍କ ଥିବା ତଥ୍ୟରୁ ଗଣନୀୟ ମାଧ୍ୟ ବାହାର କରିବା ସମୟ ବଚାଇବା ପାଇଁ ଆପଣ ଅନୁମାନିତ ମାଧ୍ୟ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବେ। ଏଠାରେ ଆପଣ ତଥ୍ୟରେ ଥିବା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଟ ଅଙ୍କକୁ ତର୍କ/ଅନୁଭବ ଆଧାରରେ ସମାନ୍ତର ମାଧ୍ୟ ବୋଲି ଅନୁମାନ କରନ୍ତି। ତାପରେ ସେହି ଅନୁମାନିତ ମାଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣର ବିଚଳନ ନିଅନ୍ତି। ଏହାପରେ ଏହି ବିଚଳନଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ନେଇ ତଥ୍ୟର ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରନ୍ତି। ପ୍ରକୃତ ସମାନ୍ତର ମାଧ୍ୟ ଅନୁମାନିତ ମାଧ୍ୟ ଓ ବିଚଳନ ଯୋଗଫଳର ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ଅନୁପାତର ଯୋଗଫଳ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ। ପ୍ରତୀକାତ୍ମକଭାବେ,

ଧରିବା, $\mathrm{A}=$ ଅନୁମାନିତ ମାଧ୍ୟ

$\mathrm{X}=$ ବ୍ୟକ୍ତିଗତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ

$\mathrm{N}=$ ମୋଟ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା

$d=$ ଅନୁମାନିତ ମାଧ୍ୟରୁ ବ୍ୟକ୍ତିଗତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣର ବିଚଳନ, ଅର୍ଥାତ୍ $d=X-A$

ତେବେ ସମସ୍ତ ବିଚଳନର ଯୋଗଫଳକୁ $\Sigma \mathrm{d}=\Sigma(\mathrm{X}-\mathrm{A})$ ବୋଲି ନିଆଯାଏ

ତାପରେ $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ ବାହାର କରନ୍ତି

ତାପରେ $\mathrm{A}$ ଓ $\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$ କୁ ଯୋଗ କରି $\overline{\mathrm{X}}$ ପାଆନ୍ତି

ଅତଏବ, $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}$

ଆପଣ ମନେରଖିବା ଉଚିତ ଯେ କୌଣସି ମୂଲ୍ୟ, ଯାହା ଡାଟାରେ ରହିଛି କି ନାହିଁ, କୁସଳରେ ଧାର୍ଯ୍ୟ ହାର ଭାବରେ ନିଆଯାଇପାରେ। ତଥାପି, ଗଣନାକୁ ସରଳ କରିବା ପାଇଁ, ଡାଟାର ମଧ୍ୟସ୍ଥିତ ମୂଲ୍ୟକୁ ଧାର୍ଯ୍ୟ ହାର ଭାବରେ ବାଛିହେବ।

ଉଦାହରଣ 2

ନିମ୍ନଲିଖିତ ଡାଟା 10ଟି ପରିବାରର ସାପ୍ତାହିକ ଆୟ ଦେଖାଏ।

ପରିବାର

$\text { A } \text { B } \text { C } \text { D } \text { E } \text { F } \text { G } \text { H}$

$\text { I } \text{ J }$

ସାପ୍ତାହିକ ଆୟ (ଟଙ୍କାରେ)

850 700 100 750 5000 80 420 2500

400 360

ପରିବାର ଆୟର ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସାରଣୀ 5.1 ଧାର୍ଯ୍ୟ ହାର ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ପ୍ରାଗ୍ ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ଧାର୍ଯ୍ୟ ହାର ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରାଗ୍ ହାର

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}}{\mathrm{N}}=850+(2,660) / 10 \\ & =\operatorname{Rs} 1,116 \end{aligned} $$

ଏହିପରିମିତେ, ଉଭୟ ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ଏକ ପରିବାରର ସାପ୍ତାହିକ ହାର ଆୟ ଟଙ୍କା 1,116। ଆପଣ ସିଧାସଳକ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ଏହାକୁ ଯାଞ୍ଚ କରିପାରିବେ।

ପଦ ପ୍ରସ୍ଥ ପଦ୍ଧତି

ଗଣନାକୁ ଆଉ ସରଳ କରାଯାଇପାରେ ଯଦି ଧାରଣା ହୋଇଥିବା ଗଡ଼ ହେଉଥିବା ବିଚଳନଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ ଗୁଣାଙ୍କ ‘c’ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ। ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ହେଉଛି ବଡ଼ ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ମାନକୁ ଏଡ଼ାଇବା, ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି $\mathrm{d}=\mathrm{X}-\mathrm{A}$ ବହୁତ ବଡ଼ ହୁଏ, ତେବେ $\mathrm{d}^{\prime}$ ବାହାର କର। ଏହା ନିମ୍ନପ୍ରକାରେ କରାଯାଇପାରେ:

$$ \mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{X}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}} $$

ସୂତ୍ରଟି ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି:

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{d}^{\prime}}{\mathrm{N}} \times \mathrm{c} $$

ଯେଉଁଠାରେ $\mathrm{d}^{\prime}=(\mathrm{X}-\mathrm{A}) / \mathrm{c}, \quad \mathrm{c}=$ ସାଧାରଣ ଗୁଣାଙ୍କ, $\mathrm{N}=$ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା, $\mathrm{A}=$ ଧାରଣା ହୋଇଥିବା ଗଡ଼।

ଏହିପରି ଭାବେ, ତୁମେ ଉଦାହରଣ 2 ରେ ପଦ ବିଚଳନ ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ପୁରୁଣିତ ଗଡ଼ ବାହାର କରିପାରିବ,

$X=850+(266 / 10) \times 10=R s 1,116$।

ଗୋଷ୍ଠୀକୃତ ତଥ୍ୟ ପାଇଁ ପୁରୁଣିତ ଗଡ଼ ଗଣନା

ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ

ସିଧାସଳକ ପଦ୍ଧତି

ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ବିପରୀତ ଥିବା ବାରମ୍ବାରତା କୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ମୂଲ୍ୟ ସହିତ ଗୁଣାଯାଏ। ଏହିପରି ଭାବେ ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରାଯାଏ ଏବଂ ସମୁଦାୟ ବାରମ୍ବାରତା ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ। ପ୍ରତୀକାତ୍ମକ ଭାବେ,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\frac{\Sigma \mathrm{fX}}{\Sigma \mathrm{f}} $$

ଯେଉଁଠାରେ, $\Sigma \mathrm{fX}=$ ଚଳ ଓ ବାରମ୍ବାରତା ଗୁଣଫଳର ଯୋଗଫଳ।

$\Sigma f=$ ବାରମ୍ବାରତା ଯୋଗଫଳ।

ଉଦାହରଣ 3

ଏକ ବାସଭୂମି କଲୋନୀରେ ପ୍ଲଟ୍‌ମାନେ କେବଳ ତିନି ଆକାରରେ ମିଳନ୍ତି: 100 ବର୍ଗ ମିଟର, 200 ବର୍ଗ ମିଟର ଓ 300 ବର୍ଗ ମିଟର ଏବଂ ପ୍ଲଟ୍‌ସଂଖ୍ୟା ଯଥାକ୍ରମେ 200, 50 ଓ 10।

ଟେବଳ 5.2 ସିଧାସଳଖ ପଦ୍ଧତିରେ ପ୍ରକଳ୍ପ ଗଣିତ ମାଧ୍ୟ ଗଣନା

ସିଧାସଳଖ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରକଳ୍ପ ଗଣିତ ମାଧ୍ୟ,

$\overline{\mathrm{X}}=\frac{\sum \mathrm{X}}{\mathrm{N}}=\frac{33000}{260}=126.92$ ବର୍ଗମିଟର

ତେଣୁ, ବାସସ୍ଥାନ କଲୋନୀର ଚତ୍ର ଆକାରର ମାଧ୍ୟ 126.92 ବର୍ଗମିଟର ଅଟେ।

ଧାର୍ଯ୍ୟ ମାଧ୍ୟ ପଦ୍ଧତି

ବ୍ୟକ୍ତିଗତ ଶ୍ରେଣୀ ପରି ଏଠାରେ ମଧ୍ୟ ଗଣନାକୁ ସରଳ କରିହେବ ଧାର୍ଯ୍ୟ ମାଧ୍ୟ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି, ପୂର୍ବରୁ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପରି, ଏକ ସରଳ ସଂଶୋଧନ ସହିତ। ଯେହେତୁ ଏଠାରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବସ୍ତୁର ବାରମ୍ବାରତା (f) ଦିଆଯାଇଛି, ଆମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିଚଳନ (d) କୁ ବାରମ୍ବାରତା ସହିତ ଗୁଣିଏ ଯାହାଫଳରେ fd ମିଳେ। ତାପରେ ଆମେ $\Sigma \mathrm{fd}$ ପାଇଁ। ପରବର୍ତ୍ତୀ ପଦକ୍ଷେପ ହେଉଛି ସମସ୍ତ ବାରମ୍ବାରତାର ଯୋଗଫଳ ଅର୍ଥାତ୍ $\Sigma \mathrm{f}$ ବାହାର କରିବା। ତାପରେ $\Sigma \mathrm{fd} / \Sigma \mathrm{f}$ ବାହାର କର। ଶେଷରେ, ଧାର୍ଯ୍ୟ ମାଧ୍ୟ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରକଳ୍ପ ଗଣିତ ମାଧ୍ୟ ଗଣନା କରାଯାଏ $\overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}}{\Sigma \mathrm{f}}$ ଦ୍ୱାରା।

ପଦକ୍ଷେପ ବିଚଳନ ପଦ୍ଧତି

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ବିଚଳନଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ ଗୁଣକ ‘c’ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଏ ଯାହା ଗଣନାକୁ ସରଳ କରେ। ଏଠାରେ ଆମେ ଅନୁମାନ କରୁଛୁ $d^{\prime}=\frac{d}{c}=\frac{X-A}{c}$ ଯାହାଦ୍ୱାରା ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ମାନଗୁଡ଼ିକର ଆକାର କମ୍ କରି ସହଜ ଗଣନା ପାଇଁ ସୁବିଧା କରିବା। ତା’ପରେ ଆମେ $\mathrm{fd}^{\prime}$ ଓ $\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}$ ପାଆନ୍ତି। ପଦ ବିଚଳନ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ସମାନ୍ତର ଗଣିତ ମାଧ୍ୟର ସୂତ୍ର ଏପରିକି,

$$ \overline{\mathrm{X}}=\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c} $$

କାର୍ଯ୍ୟାଳୀ କାର୍ଯ୍ୟ

• ଉଦାହରଣ 3 ରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ତଥ୍ୟ ପାଇଁ ପଦ ବିଚଳନ ଓ ଅନୁମାନିତ ମାଧ୍ୟ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ମାଧ୍ୟ ପ୍ଲଟ୍ ଆକାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ।

ଅବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ

ଏଠାରେ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳ ଦିଆଯାଇଛି। ଅବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାନ୍ତର ଗଣିତ ମାଧ୍ୟ ଗଣନା ପ୍ରକ୍ରିୟା ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ ପରି ସମାନ। ଏକମାତ୍ର ପାର୍ଥକ୍ୟ ଏହା ଯେ ବିଭିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ। ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଜାଣିଛୁ ଯେ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳ ବାଦ୍ ହୋଇପାରେ ବା ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କିମ୍ବା ଅସମାନ ଆକାରର ହୋଇପାରେ। ବାଦ୍ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳର ଉଦାହରଣ ହେଉଛି, 0-10, 10-20 ଇତ୍ୟାଦି। ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳର ଉଦାହରଣ ହେଉଛି, 0-9, 10-19 ଇତ୍ୟାଦି। ଅସମାନ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳର ଉଦାହରଣ ହେଉଛି, 0-20, 20-50 ଇତ୍ୟାଦି। ଏହି ସମସ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମାନ୍ତର ଗଣିତ ମାଧ୍ୟ ଗଣନା ସମାନ ପ୍ରକାରେ କରାଯାଏ।

ଉଦାହରଣ 4

ନିମ୍ନଲିଖିତ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କର ହିତାଧିକ ନମ୍ବର ଗଣନା କରନ୍ତୁ (କ) ସିଧାସଳକ ପଦ୍ଧତି (ଖ) ପଦ ବିଚଳନ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି।

ସିଧାସଳକ ପଦ୍ଧତି

ନମ୍ବର

0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50

50-60 $\quad$ 60-70

ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା

5 $\quad$ 12 $\quad$ 15 $\quad$ 25 $\quad$ 8

3 $\quad$ 2

ସାରଣୀ 5.3 ବ୍ୟାପ୍ତ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳ ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ପଦ୍ଧତିରେ ଗଣନା କରି ହାରାହାରି ନମ୍ବର ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ପଦକ୍ଷେପ:

1. ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ ମଧ୍ୟମାନ m ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ।
2. $\Sigma \mathrm{fm}$ ବାହାର କରି ସିଧାସଳଖ ପଦ୍ଧତିର ସୂତ୍ର ଲାଗୁ କରନ୍ତୁ:

$$ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\Sigma \mathrm{fm}}{\Sigma \mathrm{f}}=\frac{2110}{70}=30.14 \mathrm{ନମ୍ବର} $$

ପଦ ବିଚ୍ୟୁତି ପଦ୍ଧତି

1. $\mathrm{d}^{\prime}=\frac{\mathrm{m}-\mathrm{A}}{\mathrm{c}}$ ବାହାର କରନ୍ତୁ।
2. $\mathrm{A}=35$ ନିଅନ୍ତୁ (ଯେକୌଣସି ଇଚ୍ଛାଧୀନ ମାନ), $\mathrm{c}$ = ସାଧାରଣ ଗୁଣନକାରୀ।

$$ \begin{aligned} \overline{\mathrm{X}} & =\mathrm{A}+\frac{\Sigma \mathrm{fd}^{\prime}}{\Sigma \mathrm{f}} \times \mathrm{c}=35+\frac{(-34)}{70} \times 10 \\ & =30.14 \text{ ନମ୍ବର } \end{aligned} $$

ଗାଣିତିକ ହାରାହାରିର ଦୁଇଟି ରୋଚକ ଗୁଣଧର୍ମ

(i) ଗାଣିତିକ ହାରାହାରି ବିଷୟରେ ବସ୍ତୁଗୁଡିକର ବିଚ୍ୟୁତିର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଶୂନ୍ୟ ହୋଇଥାଏ। ପ୍ରତୀକତ, $\Sigma(\mathrm{X}-\overline{\mathrm{X}})=0$।

(ii) ଅଙ୍କଗଣିତ ଗଡ଼ ଚରମ ମୂଲ୍ୟଦ୍ୱାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ। କୌଣସି ବଡ଼ ମୂଲ୍ୟ, ଯେଉଁଠି ହେଉନା କାହିଁକି ନଥାନ୍ତୁ, ଏହାକୁ ଉପରକୁ କିମ୍ବା ତଳକୁ ଠେଲି ଦେଇପାରେ।

ଓଜନିତ ଅଙ୍କଗଣିତ ଗଡ଼

କେତେବେଳେ ଅଙ୍କଗଣିତ ଗଡ଼ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ସମୟରେ ବିଭିନ୍ନ ବସ୍ତୁକୁ ସେମାନଙ୍କର ଗୁରୁତ୍ୱ ଅନୁଯାୟୀ ଓଜନ ଦେବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ହୁଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଦୁଇଟି ବସ୍ତୁ ଅଛି, ଆମ୍ବ ଓ ଆଳୁ। ତୁମେ ଆମ୍ବର ମୂଲ୍ୟ $P_1$ ଓ ଆଳୁର ମୂଲ୍ୟ $P_2$ର ହାରାହାରି ବାହାର କରିବାକୁ ଚାହାଁନ୍ତି। ଅଙ୍କଗଣିତ ଗଡ଼ ହେବ $\frac{p_1+p_2}{2}$। ତଥାପି, ତୁମେ ଆଳୁର ମୂଲ୍ୟ ବୃଦ୍ଧିକୁ ଅଧିକ ଗୁରୁତ୍ୱ ଦେବାକୁ ଚାହାଁପାର। ଏହି ପାଇଁ, ତୁମେ ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ବଜେଟରେ ଆମ୍ବର ଅଂଶ $\left(\mathrm{W}_{1}\right)$ ଓ ଆଳୁର ଅଂଶ $\left(\mathrm{W} {2}\right)$କୁ ‘ଓଜନ’ ଭାବେ ବ୍ୟବହାର କରିପାର। ବଜେଟ ଅଂଶ ଦ୍ୱାରା ଓଜନିତ ଅଙ୍କଗଣିତ ଗଡ଼ ହେବ $\frac{\mathrm{W}{1} \mathrm{P} {1}+\mathrm{W}{2} \mathrm{P} {2}}{\mathrm{~W}{1}+\mathrm{W} _{2}}$

ସାଧାରଣତଃ ଓଜନିତ ଅଙ୍କଗଣିତ ଗଡ଼ ଦିଆଯାଏ,

$$ \frac{\mathrm{w} {1} \mathrm{x}{1}+\mathrm{w} {2} \mathrm{x}{2}+\ldots+\mathrm{w} {\mathrm{n}} \mathrm{x}{\mathrm{n}}}{\mathrm{w} {1}+\mathrm{w}{2}+\ldots+\mathrm{w} _{\mathrm{n}}}=\frac{\Sigma \mathrm{wx}}{\Sigma \mathrm{w}} $$

ଯେତେବେଳେ ମୂଲ୍ୟ ବଢ଼େ, ତୁମେ ତୁମ ପାଇଁ ଅଧିକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ବସ୍ତୁର ମୂଲ୍ୟ ବୃଦ୍ଧି ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତିତ ହୋଇପାର। ଏହି ବିଷୟରେ ତୁମେ ଅଧିକ ଜାଣିବ ଅଧ୍ୟାୟ ୮ର ସୂଚୀ ସଂଖ୍ୟା ଆଲୋଚନାରେ।

କାର୍ଯ୍ୟକଳାପମାନେ

• ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉଦାହରଣ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ହାରର ଗୁଣଧର୍ମ ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ:

$\qquad$ X: $\quad$ 4 $\quad$ 6 $\quad$ 8 $\quad$ 10 $\quad$ 12

• ଉପରୋକ୍ତ ଉଦାହରଣରେ ଯଦି ହାର 2 ଦ୍ୱାରା ବଢ଼େ, ତେବେ ପୃଥକ ପୃଥକ ଅବସ୍ଥାନଗୁଡ଼ିକର କ’ଣ ହେବ?
• ଯଦି ପ୍ରଥମ ତିନିଟି ବସ୍ତୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବଢ଼େ, ତେବେ ଶେଷ ଦୁଇଟି ବସ୍ତୁର ମୂଲ୍ୟ କ’ଣ ହେବା ଉଚିତ, ଯାହାଫଳରେ ହାର ସେଇଥାଏ?
• 12 ର ସ୍ଥାନରେ 96 ରଖନ୍ତୁ। ଗାଣିତିକ ହାରର କ’ଣ ହେବ? ମତାମତ ଦିଅନ୍ତୁ।

3. ମଧ୍ୟକ

ମଧ୍ୟକ ହେଉଛି ଚଳରାଶିର ଏପରି ସ୍ଥାନକ ମୂଲ୍ୟ ଯାହା ବଣ୍ଟନକୁ ଦୁଇଟି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ଗୋଟିଏ ଅଂଶରେ ମଧ୍ୟକ ମୂଲ୍ୟ ଠାରୁ ଅଧିକ କିମ୍ବା ସମାନ ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଅଂଶରେ ମଧ୍ୟକ ଠାରୁ କମ କିମ୍ବା ସମାନ ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ। ତଥ୍ୟ ସମୂହକୁ ପରିମାଣ ଅନୁସାରେ କ୍ରମବଦ୍ଧ କଲେ ମଧ୍ୟକ ହେଉଛି “ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ” ଉପାଦାନ। ବିଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟର ସ୍ଥାନ ଦ୍ୱାରା ମଧ୍ୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହେଉଥିବାରୁ, ଯଦି ବଡ଼ ମୂଲ୍ୟର ପରିମାଣ ବଢ଼େ, ଏହା ଉପରେ କୌଣସି ପ୍ରଭାବ ପଡ଼େନି।

ମଧ୍ୟକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ତଥ୍ୟକୁ ଛୋଟରୁ ବଡ଼ କ୍ରମରେ ସଜାଇ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ମୂଲ୍ୟ ବାହାର କରିଲେ ମଧ୍ୟକ ସହଜରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ।

ଉଦାହରଣ 5

ଧରନ୍ତୁ ଆମେ ଏକ ତଥ୍ୟ ସମୂହରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅବସ୍ଥାନ ପାଉଛୁ: $5,7,6,1,8$, $10,12,4$, ଏବଂ 3।

ତଥ୍ୟକୁ ଆରୋହୀ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ ତୁମେ ପାଉଛ:

$1,3,4,5,6,7,8,10,12$.

“ମଧ୍ୟ ସ୍କୋର” 6, ତେଣୁ ମଧ୍ୟମା 6। ଅଧା ସ୍କୋର 6 ଠାରୁ ବଡ଼ ଏବଂ ଅଧା ସ୍କୋର 6 ଠାରୁ ସାନ।

ଯଦି ତଥ୍ୟରେ ସଂଖ୍ୟା ଜୋଡ଼ ହୁଏ, ତେବେ ଦୁଇଟି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ମଧ୍ୟରେ ପଡ଼ିବ। ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ମଧ୍ୟମା ଦୁଇଟି ମଧ୍ୟ ମୂଲ୍ୟର ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ ଭାବେ ଗଣନା କରାଯାଏ।

କାର୍ଯ୍ୟାଳୟ

• ସିରିଜ୍‌ର ଚାରିଟି ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଗଡ଼ ଓ ମଧ୍ୟମା ବାହାର କର। ତୁମେ କ’ଣ ଦେଖୁଛ?

ସାରଣୀ 5.4 ଭିନ୍ନ ସିରିଜ୍‌ର ଗଡ଼ ଓ ମଧ୍ୟମା

ସିରିଜ୍‌	X (ଚଳାଶୀଳ ମୂଲ୍ୟ)	ଗଡ଼	ମଧ୍ୟମା
$\mathrm{A}$	$1,2,3$	$?$	$?$
$\mathrm{~B}$	$1,2,30$	$?$	$?$
$\mathrm{C}$	$1,2,300$	$?$	$?$
$\mathrm{D}$	$1,2,3000$	$?$	$?$

• ମଧ୍ୟମା କ’ଣ ଚରମ ମୂଲ୍ୟଦ୍ୱାରା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ? ଆଉଟ୍‌ଲାଏର୍‌ କ’ଣ?
• ମଧ୍ୟମା କ’ଣ ଗଡ଼ଠାରୁ ଭଲ ପଦ୍ଧତି?

ଉଦାହରଣ 6

ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟ 20 ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ମାର୍କ ଦେଉଛି। ତୁମେ ମଧ୍ୟମା ମାର୍କ ଗଣନା କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

$25,72,28,65,29,60,30,54,32,53$, 33, 52, 35, 51, 42, 48, 45, 47, 46, 33.

ତଥ୍ୟକୁ ଆରୋହ କ୍ରମରେ ସଜାଇଲେ, ତୁମେ ପାଅ

$25,28,29,30,32,33,33,35,42$, $45,46,47,48,51,52,53,54,60$, 65,72।

ତୁମେ ଦେଖିପାରିବ ଯେ ଦୁଇଟି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି, 45 ଓ 46। ମଧ୍ୟମା ଦୁଇଟି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣର ଗଡ଼ ନେଇ ପାଇହେବ:

ମଧ୍ୟମା $=\frac{45+46}{2}=45.5$ ମାର୍କ

ମଧ୍ୟମା ଗଣନା କରିବା ପାଇଁ ମଧ୍ୟମାର ସ୍ଥିତି ଜାଣିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଅର୍ଥାତ୍‌ କେଉଁ ବସ୍ତୁ/ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟମାରେ ଅଛି। ମଧ୍ୟମାର ସ୍ଥିତି ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଗଣନା କରାଯାଏ:

ମାଧ୍ୟମର ସ୍ଥିତି $=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ ବସ୍ତୁ

ଯେଉଁଠି $\mathrm{N}=$ ବସ୍ତୁସଂଖ୍ୟା।

ଆପଣ ଦେଖିପାରିବେ ଯେ ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ରଟି ଆପଣଙ୍କୁ କ୍ରମବଦ୍ଧ ଶ୍ରେଣୀରେ ମାଧ୍ୟମର ସ୍ଥିତି ଦିଏ, ନିଜେ ମାଧ୍ୟମ ନୁହେଁ। ମାଧ୍ୟମ ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ:

ମାଧ୍ୟମ $=$ $\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{2}$ ବସ୍ତୁର ମାନ

ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ

ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀରେ ମାଧ୍ୟମର ସ୍ଥିତି ଅର୍ଥାତ୍ $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ ବସ୍ତୁଟି ସଂଚୟ ବାରମ୍ବାରତା ମାଧ୍ୟମରେ ସ୍ଥିର କରାଯାଏ। ଏହି ସ୍ଥିତିରେ ଥିବା ସମ୍ପୃକ୍ତ ମୂଲ୍ୟଟି ହିଁ ମାଧ୍ୟମର ମୂଲ୍ୟ ହୁଏ।

ଉଦାହରଣ ୭

ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଓ ସେମାନଙ୍କ ଆୟ (₹ରେ) ସମ୍ବନ୍ଧିତ ବାରମ୍ବାରତା ବିଭଜନ ତଳେ ଦିଆଯାଇଛି। ମଧ୍ୟମ ଆୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ।

$\begin{array}{lllll}\text { ଆୟ (₹ରେ): } & 10 & 20 & 30 & 40\end{array}$

ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା: $\quad 2 \quad 4 \quad 4 \quad 10 \quad 4$

ମଧ୍ୟମ ଆୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ, ଆପଣ ତଳେ ଦିଆଯାଇଥିବା ପରି ବାରମ୍ବାରତା ବିଭଜନ ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିପାରିବେ।

ସାରଣୀ ୫.୫ ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ ମାଧ୍ୟମ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ମଧ୍ୟମା ଅବସ୍ଥିତ ଅଛି $(\mathrm{N}+1)$ / $2=(20+1) / 2=10.5^{\text {th }}$ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣରେ। ଏହା ସଂଚୟ ସଂଖ୍ୟା ମାଧ୍ୟମରେ ସହଜରେ ଖୋଜିପାରିବ। $10.5^{\text {th }}$ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ 16 ର ସଂଚୟ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ। ଏହା ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଆୟ ହେଉଛି ଟଙ୍କା 30, ତେଣୁ ମଧ୍ୟମା ଆୟ ହେଉଛି $\mathrm{Rs} 30$।

ନିରନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ

ନିରନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଆପଣଙ୍କୁ ମଧ୍ୟମା ଶ୍ରେଣୀ ଖୋଜିବାକୁ ପଡିବ ଯେଉଁଠାରେ $\mathrm{N} / 2^{\text {th }}$ ସାମଗ୍ରୀ $\left[\right.$ ନୁହେଁ $(\mathrm{N}+1) / 2^{\text {th }}$ ସାମଗ୍ରୀ] ଅବସ୍ଥିତ। ତାପରେ ମଧ୍ୟମା ନିମ୍ନରୁ ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇପାରିବ:

Median $=\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f.) })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h}$

ଯେଉଁଠାରେ, $\mathrm{L}=$ ମଧ୍ୟମା ଶ୍ରେଣୀର ତଳ ସୀମା,

c.f. $=$ ମଧ୍ୟମା ଶ୍ରେଣୀ ପୂର୍ବର ଶ୍ରେଣୀର ସଂଚୟ ସଂଖ୍ୟା,

$\mathrm{f}=$ ମଧ୍ୟମା ଶ୍ରେଣୀର ସଂଖ୍ୟା,

$\mathrm{h}=$ ମଧ୍ୟମା ଶ୍ରେଣୀ ବ୍ୟବଧାନର ପରିମାଣ।

ଯଦି ସଂଖ୍ୟା ଅସମାନ ଆକାର କିମ୍ବା ପରିମାଣର ହୁଏ, କୌଣସି ସମାଧାନ ଆବଶ୍ୟକ ନୁହେଁ।

ଉଦାହରଣ 8

ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟ ଏକ କାରଖାନାରେ କାମ କରୁଥିବା ବ୍ୟକ୍ତିଙ୍କର ଦୈନିକ ମଜୁରୀ ସମ୍ବନ୍ଧିତ। ମଧ୍ୟମା ଦୈନିକ ମଜୁରୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଦୈନିକ ମଜୁରୀ (ଟଙ୍କାରେ):

55-60 50-55 45-50 40-45 35-40 30-35

25-30 $20-25$

ଶ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା:

$\begin{array}{llllll}7 & 13 & 15 & 20 & 30 & 33\end{array}$

$28 \quad 14$

ଏଠାରେ ତଥ୍ୟ ଅବରୋହ କ୍ରମରେ ସଜା ହୋଇଅଛି।

ଉପର ଉଦାହରଣରେ ମଧ୍ୟମା ଶ୍ରେଣୀ ହେଉଛି $(\mathrm{N} / 2)^{\text {th }}$ ସାମଗ୍ରୀ (ଅର୍ଥାତ୍ 160/2) $=80^{\text {th }}$ ସାମଗ୍ରୀର ମୂଲ୍ୟ, ଯାହା 35-40 ଶ୍ରେଣୀ ବ୍ୟବଧାନରେ ଅବସ୍ଥିତ। ମଧ୍ୟମା ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରି:

ସାରଣୀ 5.6 ସନ୍ତାତ ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ ମଧ୍ୟମା ନିଷ୍ପତ୍ତି

$$ \begin{aligned} \text { ମଧ୍ୟମା } & =\mathrm{L}+\frac{(\mathrm{N} / 2-\text { c.f. })}{\mathrm{f}} \times \mathrm{h} \ & =35+\frac{(80-75)}{30} \times (40-35) \ & =₹ 35.83 \end{aligned} $$

ଏହିପରି ଭାବେ, ମଧ୍ୟମା ଦୈନିକ ମଜୁରୀ ₹ 35.83 ଅଟେ। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି କି 50% ଶ୍ରମିକ ଏହି ₹ 35.83 କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ କମ୍ ପାଉଛନ୍ତି ଏବଂ 50% ଶ୍ରମିକ ଏହି ମଜୁରୀ କିମ୍ବା ତା’ଠାରୁ ଅଧିକ ପାଉଛନ୍ତି।

ଆପଣ ମନେରଖିବା ଉଚିତ୍ ଯେ ମଧ୍ୟମା, କେନ୍ଦ୍ରିୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ଏକ ମାପକ ଭାବେ, ଶ୍ରେଣୀର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରତି ସମ୍ବେଦନଶୀଳ ନୁହେଁ। ଏହା ତଥ୍ୟର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟ ଉପରେ ଧ୍ୟାନ ଦିଏ।

କ୍ୱାର୍ଟାଇଲ୍

ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଏପରି ମାପକ ଅଟେ ଯାହା ତଥ୍ୟକୁ ଚାରି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଂଶରେ ସମାନ ସଂଖ୍ୟକ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଥାଏ। ତିନିଟି ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଥାଏ। ପ୍ରଥମ ଚତୁର୍ଥାଂଶ (ଯାହାକୁ $\mathrm{Q} {1}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ) କିମ୍ବା ନିମ୍ନ ଚତୁର୍ଥାଂଶର ତଳେ ବିତରଣର 25% ଆଇଟମ୍ ଥାଏ ଏବଂ 75% ଆଇଟମ୍ ଏହାଠାରୁ ବଡ଼ ଅଟେ। ଦ୍ୱିତୀୟ ଚତୁର୍ଥାଂଶ (ଯାହାକୁ $\mathrm{Q}{2}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ) କିମ୍ବା ମଧ୍ୟମାର ତଳେ 50% ଆଇଟମ୍ ଥାଏ ଏବଂ 50% ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଏହାଠାରୁ ଉପରେ ଅଟେ। ତୃତୀୟ ଚତୁର୍ଥାଂଶ (ଯାହାକୁ $\mathrm{Q} {3}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ) କିମ୍ବା ଉପର ଚତୁର୍ଥାଂଶର ତଳେ ବିତରଣର 75% ଆଇଟମ୍ ଥାଏ ଏବଂ 25% ଆଇଟମ୍ ଏହାଠାରୁ ଉପରେ ଅଟେ। ଏହିପରି, $\mathrm{Q}{1}$ ଏବଂ $\mathrm{Q} _{3}$ ଦୁଇଟି ସୀମା ଦର୍ଶାଏ ଯେଉଁ ମଧ୍ୟରେ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ 50% ତଥ୍ୟ ଅବସ୍ଥିତ ଅଟେ।

ଶତାଂଶ

ଶତାଂଶ ବିତରଣକୁ ଶହେ ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ତେଣୁ ତୁମେ 99ଟି ବିଭାଜନ ସ୍ଥାନ ପାଇପାରିବ ଯାହାକୁ $\mathrm{P} {1}, \mathrm{P}{2}$, $\mathrm{P} {3}, \ldots, \mathrm{P}{99} \cdot \mathrm{P} {50}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। $\mathrm{P}{50}$ ହେଉଛି ମଧ୍ୟମା ମାନ। ଯଦି ତୁମେ ଏକ ବ୍ୟବସ୍ଥାପନା ପ୍ରବେଶ ପରୀକ୍ଷାରେ 82 ଶତାଂଶ ହାସଲ କରିଛ, ଏହା ଅର୍ଥ କରେ ଯେ ତୁମ ସ୍ଥାନ ମୋଟ ପରୀକ୍ଷାର୍ଥୀଙ୍କ 18% ତଳେ ଅଛି। ଯଦି ମୋଟ ୧ ଲକ୍ଷ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ପରୀକ୍ଷା ଦେଇଥିଲେ, ତୁମେ କେଉଁଠି ଅଛ?

ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଗଣନା

ଚତୁର୍ଥାଂଶ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟକ୍ତିଗତ ଓ ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମଧ୍ୟମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ପଦ୍ଧତି ସହିତ ସମାନ। କ୍ରମିକ ଶ୍ରେଣୀର ମୂଲ୍ୟ $\mathrm{Q} {1}$ ଓ $\mathrm{Q}{3}$ ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ପ୍ରାପ୍ତ କରାଯାଏ, ଯେଉଁଠି $\mathrm{N}$ ହେଉଛି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\mathrm{th}}}{4}$ ତମ ଆଇଟମର ଆକାର

$Q _{3}=\frac{3(\mathrm{~N}+1)^{\text {th }}}{4}$ ତମ ଆଇଟମର ଆକାର।

ଉଦାହରଣ 9

ଦଶଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ପରୀକ୍ଷାର ପ୍ରାପ୍ତ ନମ୍ବର ତଥ୍ୟରୁ ନିମ୍ନ ଚତୁର୍ଥାଂଶର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

$22,26,14,30,18,11,35,41,12,32$।

ତଥ୍ୟକୁ ଆରୋହ କ୍ରମରେ ସଜାଅ,

$11,12,14,18,22,26,30,32,35,41$।

$Q _{1}=\frac{(\mathrm{N}+1)^{\text {th }}}{4}$ ତମ ଆଇଟମର ଆକାର $=\frac{(10+1)^{\text {th }}}{4}$ ତମ ଆଇଟମର ଆକାର $=2.75^{\text {th }}$ ଆଇଟମର ଆକାର $=2$ୟ ଆଇଟମ +.75 (3ୟ ଆଇଟମ -2ୟ ଆଇଟମ) $=12+.75(14-12)=13.5$ ନମ୍ବର।

କାର୍ଯ୍ୟ

• ନିଜେ $\mathrm{Q} _{3}$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

5. ମୋଡ୍

କେବେ କେବେ ଆପଣ ଏକ ଶ୍ରେଣୀର ସବୁଠାରୁ ସାଧାରଣ ମୂଲ୍ୟ କିମ୍ବା ଯେ ମୂଲ୍ୟ ଚାରିପାଖରେ ସର୍ବାଧିକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଆଇଟମ୍ ରହିଛି ତାହା ଜାଣିବାକୁ ଇଚ୍ଛୁକ ହୋଇପାରନ୍ତି। ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, ଜୋତା ନିର୍ମାତା ସେହି ସାଇଜ୍ ଜାଣିବାକୁ ଚାହାଁନ୍ତି ଯାହାର ସର୍ବାଧିକ ଚାହିଦା ଅଛି କିମ୍ବା କେଉଁ ଧରଣର ସାର୍ଟ ଅଧିକ ସମୟ ଚାହିଦାରେ ରହୁଛି। ଏଠାରେ ମୋଡ୍ ହେଉଛି ସର୍ବାଧିକ ଉପଯୁକ୍ତ ମାପକ। “ମୋଡ୍” ଶବ୍ଦଟି ଫ୍ରେଞ୍ଚ ଶବ୍ଦ “la Mode”ରୁ ଆସିଛି, ଯାହା ବଣ୍ଟନର ସବୁଠାରୁ ଫ୍ୟାଶନେବଳ୍ ମୂଲ୍ୟକୁ ସୂଚିତ କରେ, କାରଣ ଏହା ଶ୍ରେଣୀରେ ସର୍ବାଧିକ ସମୟ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହୁଏ। ମୋଡ୍ ହେଉଛି ସର୍ବାଧିକ ବାରମ୍ବାର ଦେଖାଯାଉଥିବା ତଥ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ। ଏହାକୁ $\mathrm{M} _{\text {o }}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

ମୋଡ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ

ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀ

ତଥ୍ୟ ସେଟ୍ $1,2,3,4,4,5$ କୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ। ଏହି ତଥ୍ୟ ପାଇଁ ମୋଡ୍ 4 କାରଣ 4 ସର୍ବାଧିକ ବାରମ୍ବାର (ଦୁଇଥର) ଆସୁଛି।

ଉଦାହରଣ 10

ନିମ୍ନ ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଶ୍ରେଣୀଟିକୁ ଦେଖନ୍ତୁ:

ଚଳାଚଳ $\quad$ 10 $\quad$ 20 $\quad$ 30 $\quad$ 40 $\quad$ 50

ବାରମ୍ବାରତା $\quad$ 2 $\quad$ 8 $\quad$ 20 $\quad$ 10 $\quad$ 5

ଏଠାରେ ଆପଣ ଦେଖିପାରୁଛନ୍ତି ଯେ ସର୍ବାଧିକ ବାରମ୍ବାରତା 20, ତେଣୁ ମୋଡ୍ ମୂଲ୍ୟ 30। ଏଠିକି ଏକମାତ୍ର ମୋଡ୍ ମୂଲ୍ୟ ଥିବାରୁ ତଥ୍ୟଟି ଏକମୋଡାଲ୍। କିନ୍ତୁ ମୋଡ୍ ଅନିବାର୍କ ଭାବେ ଏକମାତ୍ର ନୁହେଁ, ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ ଓ ମଧ୍ୟମା ପରି। ଆପଣ ଦୁଇଟି ମୋଡ୍ (ବାଇ-ମୋଡାଲ୍) କିମ୍ବା ଦୁଇଟିଠାରୁ ଅଧିକ ମୋଡ୍ (ବହୁ-ମୋଡାଲ୍) ଥିବା ତଥ୍ୟ ପାଇପାରିବେ। ଏପରିକି କୌଣସି ମୂଲ୍ୟ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ମୂଲ୍ୟଠୁ ଅଧିକ ବାରମ୍ବାର ନ ଆସିଲେ କୌଣସି ମୋଡ୍ ନ ଥିବା ସମ୍ଭାବନା ମଧ୍ୟ ଅଛି। ଉଦାହରଣସ୍ୱରୂପ, $1,1,2,2,3,3,4$, 4 ଶ୍ରେଣୀରେ କୌଣସି ମୋଡ୍ ନାହିଁ।

ନିରନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ

ନିରନ୍ତର ବାରମ୍ବାରତା ବିଭଜନ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ସର୍ବାଧିକ ବାରମ୍ବାରତା ଥିବା ଶ୍ରେଣୀକୁ ମୋଡାଲ ଶ୍ରେଣୀ କୁହାଯାଏ। ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ମୋଡ ଗଣନା କରାଯାଇପାରେ:

$$ \mathrm{M}{\mathrm{o}}=\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D}{1}}{\mathrm{D}{1}+\mathrm{D}{2}} \times \mathrm{h} $$

ଯେଉଁଠି $\mathrm{L}=$ ମୋଡାଲ ଶ୍ରେଣୀର ତଳ ସୀମା, $\mathrm{D}_{1}=$ ମୋଡାଲ ଶ୍ରେଣୀର ବାରମ୍ବାରତା ଓ ତାହା ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ଶ୍ରେଣୀର ବାରମ୍ବାରତା ମଧ୍ୟର ଅନ୍ତର (ଚିହ୍ନ ଅଗ୍ରାହ୍ୟ କରି)।

$\mathrm{D}_{2}=$ ମୋଡାଲ ଶ୍ରେଣୀର ବାରମ୍ବାରତା ଓ ତାହା ପରବର୍ତ୍ତୀ ଶ୍ରେଣୀର ବାରମ୍ବାରତା ମଧ୍ୟର ଅନ୍ତର (ଚିହ୍ନ ଅଗ୍ରାହ୍ୟ କରି)।

$h=$ ବିଭାଜନର ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳ।

ଆପଣ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରିବେ ଯେ ନିରନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ମୋଡ ଗଣନା ପାଇଁ ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳ ସମାନ ହେବା ଉଚିତ ଏବଂ ଶ୍ରେଣୀ ବିଶୁଦ୍ଧ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। ଯଦି ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ ଦିଆଯାଇଛି, ଶ୍ରେଣୀ ଅନ୍ତରାଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯିବ।

ଉଦାହରଣ 11

ନିମ୍ନ ତଥ୍ୟରୁ ମୋଡାଲ ଶ୍ରମିକ ପରିବାରର ମାସିକ ଆୟ ମୂଲ୍ୟ ଗଣନା କରନ୍ତୁ:

ମାସିକ ଆୟ ପ୍ରତି କମ୍ ତଳେ (ହଜାର ଟଙ୍କାରେ) କ୍ୟୁମୁଲେଟିଭ ବାରମ୍ବାରତା ବିଭଜନ

ତୁମେ ଦେଖିପାରୁଛ ଏହା ଏକ ସଂଚୟୀ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନର ଏକ ଉଦାହରଣ। ମୋଡ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ତୁମେ ଏହାକୁ ଏକ ବିଶେଷ ଶ୍ରେଣୀ ଶ୍ରେଣୀକୁ ରୂପାନ୍ତର କରିବାକୁ ପଡିବ। ଏହି ଉଦାହରଣରେ ଶ୍ରେଣୀ ଅବରୋହ କ୍ରମରେ ଅଛି। ମୋଡାଲ୍ ଶ୍ରେଣୀ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସାରଣୀକୁ ଏକ ସାଧାରଣ ବାରମ୍ବାରତା ସାରଣୀ (ସାରଣୀ 5.7) ରେ ରୂପାନ୍ତର କରିବାକୁ ପଡିବ।

ମୋଡ୍ ମାନ 25-30 ଶ୍ରେଣୀ ବ୍ୟବଧାନରେ ଅଛି। ଦୃଷ୍ଟି ପକାଇଲେ ମଧ୍ୟ ଏହି ଶ୍ରେଣୀ ମୋଡାଲ୍ ଶ୍ରେଣୀ ବୋଲି ଜଣାପଡେ।

ବର୍ତ୍ତମାନ $\mathrm{L}=25, \mathrm{D} {1}=(30-18)=12, \mathrm{D}{2}=$ $(30-20)=10, h=5$

ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ତୁମେ ମୋଡ୍ ମାନ ପାଇପାରିବ:

$\mathrm{M} _{\mathrm{O}}$ (ହଜାର ଟଙ୍କାରେ)

$$ \begin{aligned} \mathrm{M} {\mathrm{o}} & =\mathrm{L}+\frac{\mathrm{D}{1}}{\mathrm{D} {1}+\mathrm{D}{2}} \times \mathrm{h} \\ & =25+\frac{12}{12+10} \times 5=27.273 \end{aligned} $$

ଏହିପରି ଭାବେ ମୋଡାଲ୍ ଶ୍ରମିକ ପରିବାରର ମାସିକ ଆୟ ହେଉଛି ଟଙ୍କା 27.273।

କାର୍ଯ୍ୟମାନେ

• ଏକ ଜୋତା କମ୍ପାନି, ଯାହା କେବଳ ବୟସ୍କମାନେ ପାଇଁ ଜୋତା ତିଆରି କରେ, ସବୁଠାରୁ ଲୋକପ୍ରିୟ ଜୋତା ସାଇଜ୍ ଜାଣିବାକୁ ଚାହାଁଛି। ଏଥିପାଇଁ କେଉଁ ହାର ସବୁଠାରୁ ଉପଯୁକ୍ତ ହେବ?
• ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାମଗ୍ରୀ ଉତ୍ପାଦନ କରୁଥିବା କମ୍ପାନିମାନେ ପାଇଁ କେଉଁ ହାର ସବୁଠାରୁ ଉପଯୁକ୍ତ ହେବ? କାହିଁକି?

(i) ଡାୟରୀ ଓ ନୋଟବୁକ୍

(ii) ସ୍କୁଲ୍ ବ୍ୟାଗ୍

(iii) ଜିନ୍ସ ଓ ଟି-ସାର୍ଟ

• ଆପଣଙ୍କ ଶ୍ରେଣୀରେ ଏକ ଛୋଟ ସର୍ଭେ କରନ୍ତୁ ଯାହାଦ୍ୱାରା ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନେ ଚାଇନିଜ୍ ଖାଦ୍ୟ ପ୍ରତି ପସନ୍ଦ ଜାଣିପାରିବେ, ଉପଯୁକ୍ତ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତି ମାପ ବ୍ୟବହାର କରି।
• ମୋଡ୍ କୁ କୌଣସି ଗ୍ରାଫ୍ ମାଧ୍ୟମରେ ଖୋଜିହେବ କି?

6. ଗାଣିତିକ ହାର, ମଧ୍ୟମା ଓ ମୋଡ୍ ର ଆପେକ୍ଷିକ ସ୍ଥିତି

ମନେକରନ୍ତୁ ଆମେ ପ୍ରକାଶ କରୁଛୁ,

Arithmetic Mean $=\mathrm{M} _{\mathrm{e}}$

Median $=\mathrm{M} _{\mathrm{i}}$

Mode $=\mathrm{M} _{\mathrm{o}}$

ଏହି ତିନିଟିର ଆପେକ୍ଷିକ ପରିମାଣ ହେଉଛି $M {e}>M{i}>M {o}$ କିମ୍ବା $M{e}<M {i}<M{o}$ (ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରତ୍ୟୟ ବର୍ଣ୍ଣମାଳା କ୍ରମରେ ଅଛି)। ମଧ୍ୟମା ସର୍ବଦା ଗାଣିତିକ ହାର ଓ ମୋଡ୍ ମଧ୍ୟରେ ଥାଏ।

7. ଉପସଂହାର

କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ମାପ କିମ୍ବା ଗଡ଼ ହିସାବଗୁଡ଼ିକ ତଥ୍ୟକୁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ଏହା ତଥ୍ୟ ସମୂହର ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ପାଇଁ ଏକ ଏକମାତ୍ର ସର୍ବାଧିକ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱକାରୀ ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରେ। ପ୍ରାଥମିକ ଗଣିତ ଗଡ଼ ହେଉଛି ସର୍ବାଧିକ ସାଧାରଣତଃ ବ୍ୟବହୃତ ଗଡ଼। ଏହା ଗଣନା କରିବା ସହଜ ଏବଂ ସମସ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଉପରେ ଆଧାରିତ। କିନ୍ତୁ ଏହା ଚରମ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଉପସ୍ଥିତି ଦ୍ୱାରା ଅଯଥା ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ। ଏପରି ତଥ୍ୟ ପାଇଁ ମଧ୍ୟମା ଏକ ଉତ୍ତମ ସାରାଂଶ। ପ୍ରଧାନ ହେଉଛି ସାଧାରଣତଃ ଗୁଣାତ୍ମକ ତଥ୍ୟ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ମଧ୍ୟମା ଏବଂ ପ୍ରଧାନକୁ ଚିତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ସହଜରେ ଗଣନା କରିହେବ। ଖୋଲା ଶେଷ ବିଭାଜନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସହଜରେ ଗଣନା କରିହେବ। ଏହିପରି, ବିଶ୍ଳେଷଣର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଏବଂ ବିଭାଜନର ସ୍ୱଭାବ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ଗଡ଼ ଚୟନ କରିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ।

ପୁନରାବୃତ୍ତି

• କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ପ୍ରବୃତ୍ତିର ମାପ ତଥ୍ୟକୁ ଏକ ଏକମାତ୍ର ମୂଲ୍ୟ ସହିତ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରେ, ଯାହା ସମଗ୍ର ତଥ୍ୟକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିପାରେ।
• ପ୍ରାଥମିକ ଗଣିତ ଗଡ଼କୁ ସମସ୍ତ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣର ମୂଲ୍ୟର ଯୋଗଫଳକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି ପରିଭାଷିତ କରାଯାଏ।
• ପ୍ରାଥମିକ ଗଣିତ ଗଡ଼ରୁ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ବିଚ୍ୟୁତିର ଯୋଗଫଳ ସର୍ବଦା ଶୂନ୍ୟ ସମାନ ହୁଏ।
• କେତେବେଳେ, ସେମାନଙ୍କର ଗୁରୁତ୍ୱ ଅନୁଯାୟୀ ବିଭିନ୍ନ ବସ୍ତୁକୁ ଓଜନ ଦେବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ହୁଏ।
• ମଧ୍ୟମା ହେଉଛି ବିଭାଜନର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ମୂଲ୍ୟ ଏହି ଅର୍ଥରେ ଯେ ମଧ୍ୟମା ଠାରୁ କମ୍ ମୂଲ୍ୟର ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟମା ଠାରୁ ଅଧିକ ମୂଲ୍ୟର ସଂଖ୍ୟା ସମାନ।
• ଚତୁର୍ଥାଂଶଗୁଡ଼ିକ ସମଗ୍ର ମୂଲ୍ୟ ସମୂହକୁ ଚାରି ସମାନ ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି।
• ପ୍ରଧାନ ହେଉଛି ସେହି ମୂଲ୍ୟ ଯାହା ସର୍ବାଧିକ ବାରମ୍ବାର ଘଟେ।

ଅଭ୍ୟାସ

1. ନିମ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ କେଉଁ ଗଡ଼ ଉପଯୁକ୍ତ ହେବ?

(i) ପ୍ରସ୍ତୁତ ପୋଷାକର ଗଡ଼ ଆକାର।

(ii) ଏକ ଶ୍ରେଣୀର ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀମାନଙ୍କର ହେଉଥିବା ସାଧାରଣ ବୁଦ୍ଧି।

(iii) ଏକ କାରଖାନାରେ ପ୍ରତି ଶିଫ୍ଟରେ ହେଉଥିବା ସାଧାରଣ ଉତ୍ପାଦନ।

(iv) ଏକ ଶିଳ୍ପ ସଂସ୍ଥାରେ ହେଉଥିବା ସାଧାରଣ ମଜୁରି।

(v) ଯେତେବେଳେ ହେଉଥିବା ସମସ୍ତ ପରମ ବିଚଳନର ଯୋଗଫଳ ସବୁଠୁ କମ୍ ଥାଏ।

(vi) ଯେତେବେଳେ ଚଳକ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ଅନୁପାତରେ ଥାଏ।

(vii) ଖୋଲା-ଶେଷ ବାରମ୍ବାରତା ବଣ୍ଟନ କ୍ଷେତ୍ରରେ।

2. ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରଶ୍ନ ପାଇଁ ଦିଆଯାଇଥିବା ବହୁବିକଳ୍ପ ମଧ୍ୟରୁ ସବୁଠୁ ଉପଯୁକ୍ତ ବିକଳ୍ପଟି ଚିହ୍ନଟ କର।

(i) ଗୁଣାତ୍ମକ ମାପ ପାଇଁ ସବୁଠୁ ଉପଯୁକ୍ତ ହେଉଥିବା ହେଉଛି

(a) ପ୍ରାଥମିକ ହାର

(b) ମଧ୍ୟମା

(c) ବହୁଲକ

(d) ଜ୍ୟାମିତିକ ହାର

(e) ଉପରୋକ୍ତ କେହିଁନି

(ii) କେଉଁ ହେଉଥିବା ଅତି ଚରମ ଆଇଟମ୍ ଉପସ୍ଥିତି ଦ୍ୱାରା ସବୁଠୁ ଅଧିକ ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ?

(a) ମଧ୍ୟମା

(b) ବହୁଲକ

(c) ପ୍ରାଥମିକ ହାର

(d) ଉପରୋକ୍ତ କେହିଁନି

(iii) ଏକ ସମୂହର $n$ ମୂଲ୍ୟରୁ A.M. ପ୍ରତି ବିଚଳନର ବୀଜଗଣିତିକ ଯୋଗଫଳ ହେଉଛି

(a) $\mathrm{n}$

(b) 0

(c) 1

(d) ଉପରୋକ୍ତ କେହିଁନି

[ଉତ୍ତର. (i) b (ii) c (iii) b]

3. ନିମ୍ନ ବାକ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ସତ୍ୟ କି ମିଥ୍ୟା କହି ମତାମତ ଦିଅ।

(i) ଆଇଟମ୍‌ମାନେ ମଧ୍ୟମାରୁ ବିଚଳିତ ହେଉଥିବା ଯୋଗଫଳ ଶୂନ୍ୟ।

(ii) କେବଳ ଏକ ହେଉଥିବା ସମାନ ଦୁଇଟି ଶ୍ରେଣୀ ତୁଳନା କରିବା ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ ନୁହେଁ।

(iii) ପ୍ରାଥମିକ ହାର ଏକ ସ୍ଥାନ ମୂଲ୍ୟ।

(iv) ଉପର ଚତୁର୍ଥାଂଶ ହେଉଛି ଉପର ଶୀର୍ଷ $25 %$ ଆଇଟମ୍‌ର ସବୁଠୁ କମ୍ ମୂଲ୍ୟ।

(v) ମଧ୍ୟମା ଅତି ଚରମ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ ଦ୍ୱାରା ଅନୁଚିତ ଭାବେ ପ୍ରଭାବିତ ହୁଏ।

[ଉତ୍ତର. (i) ମିଥ୍ୟା (ii) ସତ୍ୟ (iii) ମିଥ୍ୟା (iv) ସତ୍ୟ (v) ମିଥ୍ୟା]

4. ଯଦି ନିମ୍ନ ଦିଆଯାଇଥିବା ତଥ୍ୟର ପ୍ରାଥମିକ ହାର 28 ହୁଏ, (a) ଅନୁପସ୍ଥିତ ବାରମ୍ବାରତା ଓ (b) ଶ୍ରେଣୀର ମଧ୍ୟମା ବାହାର କର:

ପ୍ରତି ଖୁଚୁରା ଦୋକାନର ଲାଭ (ରୁପିଆରେ) $\quad$ 0-10 $\quad$ 10-20 $\quad$ 20-30 $\quad$ 30-40 $\quad$ 40-50 $\quad$ 50-60

ଖୁଚୁରା ଦୋକାନମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା $\qquad \quad$ 12 $\qquad$ 18 $\qquad$ 27 $\qquad$ - $\qquad$ 17 $\qquad$ 6

(ଉତ୍ତର. ଅନୁପସ୍ଥିତ ସଂଖ୍ୟା 20 ଏବଂ ମଧ୍ୟମା ମାନ ରୁପିଆ 27.41)

5. ନିମ୍ନ ତାଲିକା ଏକ କାରଖାନାର ଦଶ କର୍ମଚାରୀଙ୍କର ଦୈନିକ ଆୟ ଦେଇଛି। ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ ବାହାର କର।

କର୍ମଚାରୀ $\quad$ A $\quad$ B $\quad$ C $\quad$ D $\quad$ E $\quad$ F $\quad$ G $\quad$ H $\quad$ I

ଦୈନିକ ଆୟ (ରୁପିଆରେ) $\quad 120 \quad 150 \quad 180 \quad 200 \quad 250 \quad 300 \quad 220 \quad 350 \quad 370 \quad 260$ (ଉତ୍ତର. ରୁପିଆ 240)

6. 150 ପରିବାରର ଦୈନିକ ଆୟ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ନିମ୍ନ ସୂଚନା ଦିଆଯାଇଛି। ଗାଣିତିକ ଗଡ଼ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

7. ଗାଁର 380 ପରିବାରର ଜମି ଧାରଣ ଆକାର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି। ଜମି ଧାରଣର ମଧ୍ୟମା ଆକାର ବାହାର କର।

ଜମି ଧାରଣ ଆକାର (ଏକରରେ)

100 ଠାରୁ କମ୍ $\quad 100-200 \quad 200-300 \quad 300-400 \quad 400$ ଏବଂ ଉପରେ।

ପରିବାର ସଂଖ୍ୟା $\quad 40 \quad 89 \quad 148 \quad 64 \quad 39 $

(ଉତ୍ତର. 241.22 ଏକର)

8. ନିମ୍ନଲିଖିତ ଶ୍ରେଣୀ ଏକ ଫର୍ମରେ କାମ କରୁଥିବା ଶ୍ରମିକମାନଙ୍କ ଦୈନିକ ଆୟ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ। ଗଣନା କର (a) ନିମ୍ନତମ 50% ଶ୍ରମିକଙ୍କର ସର୍ବାଧିକ ଆୟ (b) ଉପରିସ୍ଥ 25% ଶ୍ରମିକଙ୍କର ନିମ୍ନତମ ଆୟ ଏବଂ (c) ନିମ୍ନତମ 25% ଶ୍ରମିକଙ୍କର ସର୍ବାଧିକ ଆୟ।

ଦୈନିକ ଆୟ (ଟଙ୍କାରେ) $\quad 10-14 \quad 15-19 \quad 20-24 \quad 25-29 \quad 30-34 \quad 35-39$

ଶ୍ରମିକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା $\quad 5 \quad 10 \quad 15 \quad 20 \quad 10 \quad 5$

(ସୂଚନା: ମଧ୍ୟକ, ନିମ୍ନ ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଓ ଉପରି ଚତୁର୍ଥାଂଶ ଗଣନା କର।)

[ଉତ୍ତର. (a) ଟଙ୍କା 25.11 (b) ଟଙ୍କା 19.92 (c) ଟଙ୍କା 29.19]

9. ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାରଣୀ ଏକ ଗ୍ରାମର 150 ଖେତର ଗହୁମର ଉତ୍ପାଦନ ଓଜନ (କି.ଗ୍ରା. ପ୍ରତି ହେକ୍ଟର) ଦେଇଛି। ଗଣନା କର ହାର, ମଧ୍ୟକ ଓ ବହୁଳ ମୂଲ୍ୟ।

ଉତ୍ପାଦନ ଓଜନ (କି.ଗ୍ରା. ପ୍ରତି ହେକ୍ଟର) $\quad 50-53 \quad 53-56 \quad 56-59 \quad 59-62 62-65 \quad 65-68 \quad 68-71 \quad 71-74 \quad 74-77$

ଖେତର ସଂଖ୍ୟା $\quad 3 \quad 8 \quad 14 \quad 30 \quad 36 \quad 28 \quad 16 \quad 10 \quad 5 $

(ଉତ୍ତର. ହାର $=63.82 \mathrm{~kg}$. ପ୍ରତି ହେକ୍ଟର, ମଧ୍ୟକ $=63.67 \mathrm{~kg}$. ପ୍ରତି ହେକ୍ଟର, ବହୁଳ $=63.29 \mathrm{~kg}$. ପ୍ରତି ହେକ୍ଟର)