ସମ୍ଭାବ୍ୟତା - ତତ୍ତ୍ୱ ଏବଂ ଧାରଣା

🎲 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ତତ୍ତ୍ୱ

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଓ ଅନିଶ୍ଚିତତାର ଗଣିତ ଶିଖନ୍ତୁ!

🎯 ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କଣ?

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ହେଉଛି କୌଣସି ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମାପ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟତା (P) = ଅନୁକୂଳ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା / ସମ୍ଭାବ୍ୟ ମୋଟ ଫଳାଫଳ ସଂଖ୍ୟା

P(E) = n(E) / n(S)

ଯେଉଁଠି: E = ଘଟଣା S = ନମୁନା ସ୍ଥାନ (ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ)

ପରିସର: 0 ≤ P(E) ≤ 1

P = 0 → ଅସମ୍ଭବ ଘଟଣା
P = 1 → ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା
P = 0.5 → ସମାନ ସମ୍ଭାବ୍ୟ

📐 ମୌଳିକ ସୂତ୍ର

ସୂତ୍ର 1: ପୂରକ ଘଟଣା

P(E) + P(not E) = 1 P(not E) = 1 - P(E)

ଉଦାହରଣ: P(bara) = 0.3 P(bara nahi) = 1 - 0.3 = 0.7

ସୂତ୍ର 2: ଯୋଗ ନିୟମ (OR)

ପରସ୍ପର ବ୍ୟତୀତ ଘଟଣା ପାଇଁ (ଏକାସାଙ୍ଗରେ ଘଟେ ନାହିଁ): P(A or B) = P(A) + P(B)

ପରସ୍ପର ବ୍ୟତୀତ ନୁହେଁ ଏମିତି ଘଟଣା ପାଇଁ: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)

ସୂତ୍ର 3: ଗୁଣନ ନିୟମ (AND)

ସ୍ୱାଧୀନ ଘଟଣା ପାଇଁ: P(A and B) = P(A) × P(B)

ନିର୍ଭରଶୀଳ ଘଟଣା ପାଇଁ: P(A and B) = P(A) × P(B|A) ଯେଉଁଠି P(B|A) = A ଘଟିଥିବା ସମୟରେ B ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

🎴 ମାନକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପରିସ୍ଥିତି

1. ପାସା (ଏକଟି ପାସା)

ନମୁନା ସ୍ଥାନ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ମୋଟ ଫଳାଫଳ = 6

P(4 ପାଓଅ) = 1/6 P(jୁଟ ସଂଖ୍ୟା) = 3/6 = 1/2 {2, 4, 6} P(4 ଠାରୁ ବଡ଼) = 2/6 = 1/3 {5, 6} P(ଅଭାଜ୍ୟ) = 3/6 = 1/2 {2, 3, 5}

2. ଦୁଇଟି ପାସା

ମୋଟ ଫଳାଫଳ = 6 × 6 = 36

P(yତି = 7) = 6/36 = 1/6 ସଂଯୋଗ: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

P(yତି = 12) = 1/36 ସଂଯୋଗ: (6,6)

P(ଡବଲେଟ୍) = 6/36 = 1/6
ସଂଯୋଗ: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)

3. ପ୍ଲେଇଂ କାର୍ଡ

ସ୍ଟାଣ୍ଡାର୍ଡ ଡେକ୍:

ମୋଟ କାର୍ଡ = 52
ସୁଟ୍: ହାର୍ଟ୍ସ ♥, ଡାଏମଣ୍ଡ୍ସ ♦ (ଲାଲ) - 26 କାର୍ଡ
କ୍ଲବ୍ସ ♣, ସ୍ପେଡ୍ସ ♠ (କଳା) - 26 କାର୍ଡ

ପ୍ରତ୍ୟେକ ସୁଟ୍‌ରେ 13 କାର୍ଡ:
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

ଫେସ କାର୍ଡ (କୋର୍ଟ କାର୍ଡ) = 12 (J, Q, K ପ୍ରତ୍ୟେକ ସୁଟ୍‌ରେ)
ନମ୍ବର କାର୍ଡ = 40
ଏସ୍ = 4

ସାଧାରଣ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା:

P(କିଂ) = 4/52 = 1/13
P(ଲାଲ କାର୍ଡ) = 26/52 = 1/2
P(ସ୍ପେଡ୍) = 13/52 = 1/4
P(ଫେସ କାର୍ଡ) = 12/52 = 3/13
P(ଏସ୍ ଅଫ୍ ହାର୍ଟ୍ସ) = 1/52

4. ବ୍ୟାଗ୍‌ରେ ବଲ୍/ମାର୍ବଲ୍

ଉଦାହରଣ: 5 ଲାଲ, 3 ନୀଳ, 2 ସବୁଜ ବଲ୍ ଥିବା ବ୍ୟାଗ୍

ମୋଟ = 10

P(ଲାଲ) = 5/10 = 1/2
P(ନୀଳ) = 3/10
P(ସବୁଜ ନୁହେଁ) = 8/10 = 4/5

💡 ସମାଧାନ ହୋଇଥିବା ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ମୌଳିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ବ୍ୟାଗ୍‌ରେ 3 ଲାଲ ଓ 5 କଳା ବଲ୍ ଅଛି। ଏକ ଲାଲ ବଲ୍ ବାହାରିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କଣ?ସମାଧାନ:

ମୋଟ ବଲ୍ = 3 + 5 = 8
ଲାଲ ବଲ୍ = 3

P(ଲାଲ) = 3/8

ଉତ୍ତର: 3/8

ଉଦାହରଣ 2: ପୂରକ ଘଟଣା

ପ୍ରଶ୍ନ: ପରୀକ୍ଷାରେ ପାସ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା 0.75। ଫେଲ୍ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କଣ?ସମାଧାନ:

P(ଫେଲ୍) = 1 - P(ପାସ୍)
= 1 - 0.75
= 0.25

ଉତ୍ତର: 0.25 କିମ୍ବା 25%

ଉଦାହରଣ 3: ଦୁଇଟି ଡାଏସ୍ ଯୋଗଫଳ

ପ୍ରଶ୍ନ: ଦୁଇଟି ଡାଏସ୍ ଫିଙ୍ଗାଯାଏ। ଯୋଗଫଳ କମ୍‌ରେ କମ୍ 10 ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କଣ?ସମାଧାନ:

ମୋଟ ପରିଣାମ = 36

ଯୋଗଫଳ ≥ 10 ଅର୍ଥାତ୍ ଯୋଗଫଳ = 10, 11, କିମ୍ବା 12

ଯୋଗଫଳ = 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 ଉପାୟ
ଯୋଗଫଳ = 11: (5,6), (6,5) → 2 ଉପାୟ
ଯୋଗଫଳ = 12: (6,6) → 1 ଉପାୟ

ଅନୁକୂଳ = 3 + 2 + 1 = 6

P(ଯୋଗଫଳ ≥ 10) = 6/36 = 1/6

ଉତ୍ତର: 1/6

ଉଦାହରଣ 4: ପତା ଖେଳ

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ପତା ଡେକରୁ ଗୋଟିଏ ପତା ଟାଣା ଯାଇଛି। P(ରାଜା କିମ୍ବା ରାଣୀ) ବାହାର କର।ସମାଧାନ:

ରାଜା = 4 ରାଣୀ = 4 ସମୁଦାୟ = 4 + 4 = 8 (ପରସ୍ପର ବିଭକ୍ତ)

P(ରାଜା କିମ୍ବା ରାଣୀ) = 8/52 = 2/13

ଉତ୍ତର: 2/13

ଉଦାହରଣ 5: ସ୍ୱାଧୀନ ଘଟଣା

ପ୍ରଶ୍ନ: ଦୁଇଟି ପତା ପୁନର୍ବାର ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ସହିତ ଟାଣା ଯାଇଛି। P(ଉଭୟ ଏସ) ବାହାର କର।ସମାଧାନ:

P(ପ୍ରଥମ ଏସ) = 4/52 = 1/13 P(ଦ୍ୱିତୀୟ ଏସ) = 4/52 = 1/13 (ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ଅର୍ଥାତ୍ ଡେକ ପୁନର୍ବାର ପୂର୍ଣ୍ଣ)

P(ଉଭୟ ଏସ) = 1/13 × 1/13 = 1/169

ଉତ୍ତର: 1/169

ଉଦାହରଣ 6: ନିର୍ଭରଶୀଳ ଘଟଣା

ପ୍ରଶ୍ନ: ଦୁଇଟି ପତା ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ବିନା ଟାଣା ଯାଇଛି। P(ଉଭୟ ରାଜା) ବାହାର କର।ସମାଧାନ:

P(ପ୍ରଥମ ରାଜା) = 4/52 = 1/13

ଗୋଟିଏ ରାଜା ହଟାଇଦେବା ପରେ: ପତା ବାକି = 51 ରାଜା ବାକି = 3

P(ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଜା | ପ୍ରଥମ ରାଜା) = 3/51 = 1/17

P(ଉଭୟ ରାଜା) = 1/13 × 1/17 = 1/221

ଉତ୍ତର: 1/221

ଉଦାହରଣ 7: କମ୍ ସେ ଗୋଟିଏ

ପ୍ରଶ୍ନ: ସିକ୍କାକୁ 3 ଥର ଉଡାଯାଇଛି। P(କମ୍ ସେ ଗୋଟିଏ ମୁଣ୍ଡ) ବାହାର କର।ସମାଧାନ:

ପଦ୍ଧତି 1: ପୂରକ ବ୍ୟବହାର କର P(କୌଣସି ମୁଣ୍ଡ ନାହିଁ) = P(ସମସ୍ତ ଲାଞ୍ଜ) = (1/2)³ = 1/8 P(କମ୍ ସେ ଗୋଟିଏ ମୁଣ୍ଡ) = 1 - 1/8 = 7/8

ପଦ୍ଧତି 2: ସିଧା (ଲମ୍ବା!) P(1M କିମ୍ବା 2M କିମ୍ବା 3M) = … = 7/8

ଉତ୍ତର: 7/8

ଉଦାହରଣ 8: ସର୍ତ୍ତିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ଥଳିରେ 4 ଲାଲ୍, 6 ନୀଳ ବଲ୍ ଅଛି। ଦୁଇଟି ବଲ୍ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ବିନା ଟାଣା ଯାଇଛି। P(ଦ୍ୱିତୀୟଟି ଲାଲ୍ | ପ୍ରଥମଟି ନୀଳ) ବାହାର କର।ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମଟି ନୀଳ ଥିବା ଦେଖିଲେ: ବଲ୍ ବାକି = 9 ଲାଲ୍ ବଲ୍ ବାକି = 4 (ଅପରିବର୍ତ୍ତିତ)

P(ଦ୍ୱିତୀୟ ଲାଲ୍ | ପ୍ରଥମ ନୀଳ) = 4/9

ଉତ୍ତର: 4/9

🎯 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପାଟର୍ଣ

ପାଟର୍ଣ 1: ସିକ୍କା ଉଡ଼ଣା

n ଟି ସିକ୍କା (କିମ୍ବା n ଥର ଉଡ଼ଣା): ସମୁଦାୟ ପରିଣାମ = 2ⁿ

1 ଟଙ୍କା: 2 ସମ୍ଭାବନା (H, T) 2 ଟଙ୍କା: 4 ସମ୍ଭାବନା (HH, HT, TH, TT) 3 ଟଙ୍କା: 8 ସମ୍ଭାବନା

ପାଟର୍ନ 2: ଅତିଶୟ କମ/ଅତିଶୟ ଅଧିକ

“ଅତିଶୟ କମ ଗୋଟିଏ” = 1 - P(କୌଣସିଟି ନୁହେଁ) “ଅତିଶୟ ଅଧିକ ଗୋଟିଏ” = P(ଶୂନ୍ୟ) + P(ଗୋଟିଏ)

ଏହା ସାଧାରଣତଃ ସିଧାସଳଖ ଗଣନା ଠାରୁ ସହଜ!

ପାଟର୍ନ 3: ପାସା ଯୋଗଫଳ ସମ୍ଭାବନା

2 ପାସା ସହିତ ସବୁଠାରୁ ସମ୍ଭାବନା ଥିବା ଯୋଗଫଳ = 7 (6 ଉପାୟ) ସବୁଠାରୁ କମ ସମ୍ଭାବନା ଥିବା ଯୋଗଫଳ = 2 ଓ 12 (ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 1 ଉପାୟ)

ଯୋଗଫଳ ବାରମ୍ବାରତା ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ଗଠନ କରେ: ଯୋଗଫଳ 7: ●●●●●● (6 ଉପାୟ) ଯୋଗଫଳ 6,8: ●●●●● (ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 5 ଉପାୟ) ଯୋଗଫଳ 5,9: ●●●● (ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 4 ଉପାୟ) …

⚡ ଦ୍ରୁତ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ 1: ତାସ ସମ୍ଭାବନା

P(ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ତାସ) = 1/52 P(ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନ) = 4/52 = 1/13 P(ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସୁଟ) = 13/52 = 1/4 P(ଲାଲ/କଳା) = 26/52 = 1/2 P(ଫେସ୍ ତାସ) = 12/52 = 3/13

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ 2: ପାସା ପୂରକ

P(n ପାସାରେ ଅତିଶୟ କମ ଗୋଟିଏ 6) = 1 - (5/6)ⁿ

2 ପାସା ପାଇଁ: 1 - (5/6)² = 1 - 25/36 = 11/36

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ 3: ସମାନ ରଙ୍ଗ ବଲ

ଯଦି r ଟି ଲାଲ ଓ b ଟି କଳା ବଲ, 2 ଟି ଟାଣିଲେ: P(ଉଭୟ ସମାନ ରଙ୍ଗ) = [r(r-1) + b(b-1)] / [(r+b)(r+b-1)]

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ପଥ 4: ଠିକ୍ k ଟି ସଫଳତା

ବିନୋମିଆଲ୍ ବ୍ୟବହାର କର: C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k) ଯେଉଁ n = ପରୀକ୍ଷଣ, k = ସଫଳତା, p = ସମ୍ଭାବନା

📊 ବିଶେଷ କ୍ଷେତ୍ର

ଜନ୍ମଦିନ ପାରାଡକ୍ସ

n ଜଣ ଲୋକଙ୍କ ଦଳରେ 2 ଜଣଙ୍କର ଜନ୍ମଦିନ ମିଶିଥିବା ସମ୍ଭାବନା: P ≈ 1 - (365/365 × 364/365 × 363/365 × … n ପଦ ପାଇଁ)

23 ଜଣ ପାଇଁ: P ≈ 50.7% (ଆଶ୍ଚର୍ଯ୍ୟଜନକ!)

ଜୁଆରୁ ପତନ ଭ୍ରାନ୍ତି

ଭୁଲ ଚିନ୍ତା: “ମୁଁ 5 ଟି ଲାଙ୍ଗଲ ପାଇଲି, ପରବର୍ତୀ ଟି ନିଶ୍ଚୟ ମୁଣ୍ଡ ହେବ!” ✗ ଠିକ୍: ପ୍ରତ୍ୟେକ ଟସ୍ ସ୍ୱାଧୀନ, P(H) = 0.5 ସର୍ବଦା ✓

⚠️ ସାଧାରଣ ଭୁଲ

❌ ଭୁଲ 1: ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ଭ୍ରାନ୍ତି

ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ସହିତ: ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସମାନ ରହେ
ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ବିନା: ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ବଦଳେ

ସବୁବେଳେ ପ୍ରଶ୍ନକୁ ସାବଧାନରେ ଚେକ୍ କର!

❌ ଭୁଳ 2: କିମ୍ବା ବନାମ ଏବଂ

ଭୁଳ: P(A କିମ୍ବା B) = P(A) × P(B) ✗
ଠିକ୍:
“କିମ୍ବା” → ଯୋଗ (ଓଭରଲାପ୍ ଚେକ୍ କର!)
“ଏବଂ” → ଗୁଣିବା ✓

❌ ଭୁଳ 3: କମ୍ ସେ ଗୋଟିଏ

ଭୁଳ: ସିଧାସଳଖ ଗଣନା (କଷ୍ଟସାଧ୍ୟ) ✗
ଠିକ୍: ପୂରକ ବ୍ୟବହାର କର: 1 - P(କିଛି ନୁହେଁ) ✓

❌ ଭୁଳ 4: ସ୍ୱାଧୀନ ଧାରଣା

ଭୁଳ: ସବୁବେଳେ P(A ଏବଂ B) = P(A) × P(B) ବ୍ୟବହାର କରିବା ✗
ଠିକ୍: କେବଳ ସ୍ୱାଧୀନ ଘଟଣା ପାଇଁ ✓
ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ବିନା କାର୍ଡ → ସ୍ୱାଧୀନ ନୁହେଁ!

❌ ଭୁଳ 5: ଅନୁକୂଳ ଗଣନା

ଭୁଳ: P(ରାଜା କିମ୍ବା ରାଣୀ) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 2/13 ✓ (ଏଠି ଠିକ୍!)
କିନ୍ତୁ ଓଭରଲାପ୍ ଘଟଣା ଥିଲେ, P(ଉଭୟ) ବିୟୋଗ କରିବାକୁ ପଡିବ!

📝 ଅଭ୍ୟାସ ସମସ୍ୟା

ସ୍ତର 1:

ଗୋଟିଏ ପାସା ଫିଙ୍ଗାଯାଇଛି। P(ମୂଳ ସଂଖ୍ୟା ଆସିବା) ବାହାର କର।
ଗୋଟିଏ କଏନ୍ ଦୁଇଥର ଫିଙ୍ଗାଯାଇଛି। P(କମ୍ ସେ ଗୋଟିଏ ମୁଣ୍ଡ ଆସିବା) ବାହାର କର।
ଡେକ୍ରୁ ଗୋଟିଏ କାର୍ଡ ନିଆଯାଇଛି। P(ଏସ୍) ବାହାର କର।

ସ୍ତର 2:

ଦୁଇଟି ପାସା ଫିଙ୍ଗାଯାଇଛି। P(ଯୋଗଫଳ = 8) ବାହାର କର।
ବ୍ୟାଗରେ 5 ଲାଲ, 3 ନୀଳ ବଲ୍ ଅଛି। ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ବିନା ଦୁଇଟି ତୋଳାଯାଏ। P(ଉଭୟ ଲାଲ) ବାହାର କର।
ତିନିଟି କଏନ୍ ଫିଙ୍ଗାଯାଇଛି। P(ଠିକ୍ 2 ମୁଣ୍ଡ) ବାହାର କର।

ସ୍ତର 3:

ଗୋଟିଏ ପାସା ତିନିଥର ଫିଙ୍ଗାଯାଇଛି। P(କମ୍ ସେ ଗୋଟିଏ 6 ଆସିବା) ବାହାର କର।
ଡେକ୍ରୁ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ବିନା 3ଟି କାର୍ଡ ନିଆଯାଇଛି। P(ସମସ୍ତେ ରାଜା) ବାହାର କର।
ବ୍ୟାଗରେ 4 ଲାଲ, 6 କଳା, 5 ଧଳା ବଲ୍ ଅଛି। P(ପ୍ରଥମେ ଲାଲ ଏବଂ ପରେ କଳା ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ ବିନା ତୋଳିବା) ବାହାର କର।