କ୍ରମ୍ୟୁଟେସନ୍ ଏବଂ ମିଶ୍ରଣ - ତତ୍ତ୍ୱ ଏବଂ ଧାରଣା

🔀 ପରମ୍ୟୁଟେସନ୍ ଓ କମ୍ବିନେସନ୍ - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଥିଓରୀ

ଗଣନା, ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ ଓ ଚୟନ ସମସ୍ୟାକୁ ମାଷ୍ଟର୍ କର!

🎯 ମୁଖ୍ୟ ପାର୍ଥକ୍ୟ

ପରମ୍ୟୁଟେସନ୍ (କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ!)

ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଏପରି ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ ଯେଉଁଠି କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ।

ଉଦାହରଣ: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ସମସ୍ତେ ଭିନ୍ନ ପରମ୍ୟୁଟେସନ୍!

ପ୍ରତୀକ: ⁿPᵣ କିମ୍ବା P(n,r)

କମ୍ବିନେସନ୍ (କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ନୁହେଁ!)

ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଏପରି ଚୟନ ଯେଉଁଠି କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ନୁହେଁ।

ଉଦାହରଣ: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ସମସ୍ତେ ସମାନ କମ୍ବିନେସନ୍!

ପ୍ରତୀକ: ⁿCᵣ କିମ୍ବା C(n,r) କିମ୍ବା (n choose r)

ମେମୋରୀ ଟ୍ରିକ୍:

Permutation →Position ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ
Combination →Choice/Collection (କ୍ରମ ଅସମ୍ବନ୍ଧିତ)

📐 ମୌଳିକ ସୂତ୍ର

ଫ୍ୟାକ୍ଟୋରିଆଲ୍

n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1

0! = 1 (ପରିଭାଷା ଅନୁସାରେ) 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5,040 8! = 40,320 9! = 362,880 10! = 3,628,800

ପରମ୍ୟୁଟେସନ୍ ସୂତ୍ର

ⁿPᵣ = n! / (n-r)!

ଯେଉଁଠି: n = ମୋଟ ବସ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟା r = ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ ପାଇଁ ବସ୍ତୁ

ଉଦାହରଣ: ⁵P₃ = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 120 / 2 = 60

ବିଶେଷ କ୍ଷେତ୍ର:

ⁿPₙ = n! (ସମସ୍ତ n ବସ୍ତୁକୁ ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ) ⁵P₅ = 5! = 120

କମ୍ବିନେସନ୍ ସୂତ୍ର

ⁿCᵣ = n! / [r! × (n-r)!]

ଯେଉଁଠି: n = ମୋଟ ବସ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟା r = ଚୟନ ପାଇଁ ବସ୍ତୁ

ଉଦାହରଣ: ⁵C₃ = 5! / [3! × 2!] = 120 / (6 × 2) = 120 / 12 = 10

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଗୁଣଧର୍ମ:

ⁿC₀ = 1 ⁿCₙ = 1 ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ ⁿCᵣ + ⁿCᵣ₋₁ = ⁿ⁺¹Cᵣ

🔄 P ଓ C ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ

ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!

ପରସ୍ପର ବିନିମୟ = ସଂଯୋଗ × ବଛାଯାଇଥିବା ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ

ଉଦାହରଣ: ⁵P₃ = ⁵C₃ × 3! = 10 × 6 = 60 ✓

💡 ସମାଧାନ ହୋଇଥିବା ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ମୌଳିକ ପରସ୍ପର ବିନିମୟ

ପ୍ରଶ୍ନ: 1, 2, 3, 4, 5 ଅଙ୍କ ବ୍ୟବହାର କରି କେତେ 3-ଅଙ୍କ ବିହିନ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କରାଯାଇପାରିବ?ସମାଧାନ:

ଆମେ 5ଟି ଅଙ୍କରୁ 3ଟି ଅଙ୍କ ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ କରିବାକୁ ଚାହୁଁଛୁ କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ (123 ≠ 321)

⁵P₃ = 5! / 2! = 120 / 2 = 60

ଉତ୍ତର: 60

ଉଦାହରଣ 2: ମୌଳିକ ସଂଯୋଗ

ପ୍ରଶ୍ନ: 5ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କରୁ 3ଜଣଙ୍କୁ କେତେ ପ୍ରକାରରେ ବଛିପାରିବୁ?ସମାଧାନ:

ବଛାଣ, କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ନୁହେଁ

⁵C₃ = 5! / (3! × 2!) = 120 / (6 × 2) = 10

ଉତ୍ତର: 10

ଉଦାହରଣ 3: ଅକ୍ଷର ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ

ପ୍ରଶ୍ନ: “BOOK” ର ଅକ୍ଷରଗୁଡ଼ିକୁ କେତେ ପ୍ରକାରରେ ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ କରାଯାଇପାରିବ?ସମାଧାନ:

ମୋଟ ଅକ୍ଷର = 4 କିନ୍ତୁ O 2 ଥର ଆସେ (ସମାନ)

ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ = 4! / 2! = 24 / 2 = 12

ଉତ୍ତର: 12

ଉଦାହରଣ 4: ବୃତ୍ତାକାର ପରସ୍ପର ବିନିମୟ

ପ୍ରଶ୍ନ: 5ଜଣ ଲୋକ ଗୋଲକୂଳ ଟେବୁଲ ଚାରିପାଖରେ ବସିବେ। ବ୍ୟବସ୍ଥାପନ ସଂଖ୍ୟା କେତେ?ସମାଧାନ:

ବୃତ୍ତାକାର ପରସ୍ପର ବିନିମୟ = (n-1)!

= (5-1)! = 4! = 24

ଉତ୍ତର: 24

ଉଦାହରଣ 5: ନିୟମ ସହିତ ବଛାଣ

ପ୍ରଶ୍ନ: 5ଟି ପୁଅ ଓ 4ଟି ଝିଅଙ୍କରୁ 3ଟି ପୁଅ ଓ 2ଟି ଝିଅ ଥିବା କମିଟି କେତେ ପ୍ରକାରରେ ବଛିପାରିବୁ?ସମାଧାନ:

ପୁଅ: ⁵C₃ = 5!/(3!×2!) = 10 ଝିଅ: ⁴C₂ = 4!/(2!×2!) = 6

ମୋଟ = 10 × 6 = 60

ଉତ୍ତର: 60

ଉଦାହରଣ 6: ଅଧିକ/କମ

ପ୍ରଶ୍ନ: 6ଜଣ ଲୋକଙ୍କରୁ ଅଧିକରୁ 2ଜଣ ଥିବା କମିଟି କେତେ ପ୍ରକାରରେ ଗଠନ କରାଯାଇପାରିବ?ସମାଧାନ:

ଅଧିକରୁ 2 = 2 କିମ୍ବା 3 କିମ୍ବା 4 କିମ୍ବା 5 କିମ୍ବା 6

= ⁶C₂ + ⁶C₃ + ⁶C₄ + ⁶C₅ + ⁶C₆
= 15 + 20 + 15 + 6 + 1
= 57

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ: ସମୁଦାୟ - ଅନିଚ୍ଛିତ
= 2⁶ - ⁶C₀ - ⁶C₁
= 64 - 1 - 6
= 57 ✓

ଉତ୍ତର: 57

ଉଦାହରଣ 7: ସମାନ ବସ୍ତୁ

ପ୍ରଶ୍ନ: “MISSISSIPPI” ଅକ୍ଷରଗୁଡ଼ିକୁ କେତେ ପ୍ରକାରେ ସଜାଇ ହେବ?ସମାଧାନ:

ସମୁଦାୟ = 11 ଅକ୍ଷର
M = 1, I = 4, S = 4, P = 2

ସଜାଇ = 11! / (1! × 4! × 4! × 2!)
= 39,916,800 / (1 × 24 × 24 × 2)
= 34,650

ଉତ୍ତର: 34,650

ଉଦାହରଣ 8: ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସ୍ଥାନ

ପ୍ରଶ୍ନ: “COMPUTER” ଶବ୍ଦର କେତେ ସଜାଇ C ଦ୍ୱାରା ଆରମ୍ଭ ହୁଏ ଓ R ଦ୍ୱାରା ଶେଷ ହୁଏ?ସମାଧାନ:

C _ __ _ __ R

C ଓ R ସ୍ଥିର
ମଧ୍ୟରେ ବାକି 6 ଅକ୍ଷର ସଜାଇବାକୁ

= 6!
= 720

ଉତ୍ତର: 720

🎯 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ନମୁନା

ନମୁନା 1: n ବସ୍ତୁର ସଜାଇ

ସମୁଦାୟ ସଜାଇ = n!

କିନ୍ତୁ ଯଦି କେତେକ ସମାନ:
= n! / (p! × q! × r! × …)

ଯେଉଁଥିରେ p, q, r ହେଉଛି ସମାନ ବସ୍ତୁର ସଂଖ୍ୟା

ନମୁନା 2: ବୃତ୍ତାକାର ସଜାଇ

ରେଖିକ: n!
ବୃତ୍ତାକାର: (n-1)!

ଯଦି ଘଡ଼ିଆଣି = ପ୍ରତିଘଡ଼ିଆଣି (ଯେପରି ମଣି):
= (n-1)! / 2

ନମୁନା 3: ସମସ୍ତ ନିବେଶ ବନାମ କେତେକ

n ବସ୍ତୁରୁ:
ସମସ୍ତ ନିବେଶ: କେବଳ 1 ଉପାୟ (ⁿCₙ = 1)
ସମସ୍ତ ସଜାଇ: n! ଉପାୟ

r ନିବେଶ: ⁿCᵣ ଉପାୟ
r ସଜାଇ: ⁿPᵣ ଉପାୟ

ନମୁନା 4: ସ୍ୱର/ବ୍ୟଞ୍ଜନ ଏକାସାଇ

ଗୋଷ୍ଠୀ ବସ୍ତୁକୁ ଏକ ଏକକ ଭାବେ ଦେଖ

ଉଦାହରଣ: ORANGE, ସ୍ୱରଗୁଡ଼ିକୁ ଏକାସାଇ ରଖ
ସ୍ୱର: OAE (1 ଏକକ ଭାବେ)
ଏକକ: (OAE), R, N, G = 4 ଏକକ

ସଜାଇ = 4! × 3!
(4! ଏକକ ପାଇଁ, 3! ସ୍ୱର ଭିତରେ)

⚡ ଦ୍ରୁତ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 1: ⁿCᵰ ଗଣନା

⁷C₃ = (7 × 6 × 5) / (3 × 2 × 1) = 210 / 6 = 35

ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଫ୍ୟାକ୍ଟୋରିଆଲ୍ ଗଣନା କରିବା ଠାରୁ ସହଜ!

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 2: ସମମିତି ଗୁଣଧର୍ମ

ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ

୨⁰C₁₈ ଗଣନା କଷ୍ଟକର ହେଲେ: ୨⁰C₁₈ = ୨⁰C₂ = 190 (ବହୁତ ସହଜ!)

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 3: କ୍ରମାଗତ ଚୟନ

n ଟି ବସ୍ତୁରୁ ବୃତ୍ତରେ r ଟି କ୍ରମାଗତ ବସ୍ତୁ ଚୟନ: = n ଟି ଉପାୟ

ଉଦାହରଣ: 10 ଟି ବସ୍ତୁରୁ 3 ଟି କ୍ରମାଗତ ବସ୍ତୁ = 10

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 4: ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଅଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟତା

5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ଗଣନା କରିବା ପାଇଁ: ଶେଷ ଅଙ୍କ 0 କିମ୍ବା 5 ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଶେଷ ଅଙ୍କ ସ୍ଥିର କର, ବାକିଥିବା ଅଙ୍କ ବ୍ୟବସ୍ଥା କର

📬 ବିଶେଷ କ୍ଷେତ୍ର

ଦଳରୁ ଚୟନ

m ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ n ଜଣ ମହିଳା ମଧ୍ୟରୁ ଚୟନ:

r ଜଣ ପୁରୁଷ ଓ s ଜଣ ମହିଳା: ᵐCᵣ × ⁿCₛ
ଅତିକମ୍ ଶେଷରେ 1 ଜଣ ପୁରୁଷ: ସମୁଦାୟ - (ସମସ୍ତ ମହିଳା)
ଠିକ୍ 1 ଜଣ ମହିଳା: ⁿC₁ × ᵐCᵣ₋₁

ବସ୍ତୁ ବଣ୍ଟନ

n ଟି ଏକଇ ବସ୍ତୁ r ଜଣଙ୍କୁ ବଣ୍ଟନ: ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ ଅତିକମ୍ ଶେଷରେ 1: ⁿ⁻¹Cᵣ₋₁ କୌଣସି ବାଧା ନାହିଁ: ⁿ⁺ʳ⁻¹Cᵣ₋₁

ବ୍ୟତିକ୍ରମ

n ଟି ବସ୍ତୁକୁ ଏପରିକି ବ୍ୟବସ୍ଥା କରିବା ଯେପରି କୌଣସି ବସ୍ତୁ ନିଜ ମୂଳ ସ୍ଥାନରେ ନ ଥାଏ: ≈ n! / e

⚠️ ସାଧାରଣ ଭୁଲ

❌ ଭୁଲ 1: P ଓ C ଭୁଲ କରିବା

ଭୁଲ: କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ହେଲେ କମ୍ବିନେସନ୍ ବ୍ୟବହାର କରିବା ✗ ଠିକ୍: ବ୍ୟବସ୍ଥା/ର୍ୟାଙ୍କିଂ/କୋଡ୍ → ପର୍ମୁଟେସନ୍ ✓ ଚୟନ/କମିଟି/ଦଳ → କମ୍ବିନେସନ୍ ✓

❌ ଭୁଲ 2: ଏକଇ ବସ୍ତୁ

ଭୁଲ: “BOOK” କୁ 4! = 24 ବୋଲି ଗଣନା କରିବା ✗ ଠିକ୍: 4!/2! = 12 (ଦୁଇଟି O ଏକଇ) ✓

❌ ଭୁଲ 3: ବୃତ୍ତାକାର ≠ ରେଖାକାର

ଭୁଲ: 5 ଜଣ ବ୍ୟକ୍ତି ବୃତ୍ତରେ = 5! ✗ ଠିକ୍: = (5-1)! = 4! ✓

❌ ଭୁଲ 4: ଅତିକମ୍ ଶେଷରେ ଗଣନା

ଭୁଲ: ସିଧାସଳଖ ଯୋଗ (ଶ୍ରମସାପେକ୍ଷ, ଭୁଲପ୍ରବଣ) ✗ ଠିକ୍: ସମୁଦାୟ - ଅପ୍ରତ୍ୟାଶିତ (ପୂରକ!) ✓

❌ ଭୁଲ 5: ଚୟନ ସୂତ୍ର

ଭୁଲ: ⁿCᵣ = n! / r! ✗ ଠିକ୍: ⁿCᵣ = n! / (r! × (n-r)!) ✓

📝 ଅଭ୍ୟାସ ସମସ୍ୟା

ସ୍ତର 1:

1-9 ଅଙ୍କରୁ ପୁନରାବୃତ୍ତି ନଥିବା 4-ଅଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା କେତୋଟି?
5ଟି ବହିକୁ ଶେଲ୍ଫରେ କେତୋଟି ଉପାୟରେ ସଜାଇହେବ?
10 ଜଣ ଲୋକଙ୍କରୁ 4 ଜଣଙ୍କ କମିଟି ଚୟନ କରିବାକୁ ହେଲେ କେତୋଟି ଉପାୟ?

ସ୍ତର 2:

“SUCCESS” ଶବ୍ଦର ଅକ୍ଷରମାନେ କେତୋଟି ଉପାୟରେ ସଜାଇହେବ?
6 ଜଣ ଲୋକଙ୍କୁ ଗୋଲାକାର ଟେବୁଳ ଚାରିପଟେ ବସାଇବାର ବ୍ୟବସ୍ଥା କେତୋଟି?
8ଟି ପିଲା ଓ 6ଟି ଝିଅଙ୍କରୁ 3ଟି ପିଲା ଓ 2ଟି ଝିଅ ଚୟନ କରିବାକୁ ହେଲେ କେତୋଟି ଉପାୟ?

ସ୍ତର 3:

“EQUATION” ଶବ୍ଦର ସ୍ୱରଦିଆରେ ଆରମ୍ଭ ହେଉଥିବା ସଜାଣି କେତୋଟି?
10ଟି ବିନ୍ଦୁ, କୌଣସି 3ଟି ଏକ ସରଳରେଖାରେ ନାହାନ୍ତି। ତ୍ରିଭୁଜ କେତୋଟି?
12ଟି ଏକାଇ ଚକୋଲେଟ୍‌କୁ 5ଟି ପିଲାଙ୍କୁ ବାଣ୍ଟିବା, ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କୁ ଅତିକମ୍‌ 1ଟି ମିଳିବ। କେତୋଟି ଉପାୟ?