ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀ ସୂତ୍ର ଓ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ

🔢 ସଂଖ୍ୟାର ପ୍ରକାର

ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (N)

N = {1, 2, 3, 4, 5, …} ଗଣନା = n - 1 (1 ରୁ n ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ)

ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା (W)

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} ଗଣନା = n + 1 (0 ରୁ n ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ)

ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍କ (Z)

Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା (Q)

ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ p/q ରୂପରେ ଲେଖାଯାଏ ଯେଉଁଠାରେ q ≠ 0

ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା

ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକୁ p/q ରୂପରେ ଲେଖାଯାଇପାରେ ନାହିଁ ଉଦାହରଣ: √2, √3, π

🎯 ବିଭାଜ୍ୟତା ନିୟମ

2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଶେଷ ଅଙ୍କ ଜୋଡ଼ (0, 2, 4, 6, 8)

3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 3 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ
• ଉଦାହରଣ: 123 → 1+2+3=6 (6 ÷ 3 = 2) ✓

4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଶେଷ ଦୁଇଟି ଅଙ୍କ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କରି 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ
• ଉଦାହରଣ: 1524 → 24 ÷ 4 = 6 ✓

5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଶେଷ ଅଙ୍କ 0 କିମ୍ବା 5

6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: 2 ଓ 3 ଉଭୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

7 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଶେଷ ଅଙ୍କକୁ ଦୁଇଗୁଣ କର, ବାକି ଅଂଶରୁ ବିୟୋଗ କର
• ଉଦାହରଣ: 343 → 34 - (2×3) = 28 → 28 ÷ 7 = 4 ✓

8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଶେଷ ତିନିଟି ଅଙ୍କ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଗଠନ କରି 8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ
• ଉଦାହରଣ: 5640 → 640 ÷ 8 = 80 ✓

9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ 9 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ହେବ
• ଉଦାହରଣ: 891 → 8+9+1=18 (18 ÷ 9 = 2) ✓

10 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ଶେଷ ଅଙ୍କ 0

11 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ

• ନିୟମ: ବିଜୋଡ ସ୍ଥାନ ଓ ଜୋଡ ସ୍ଥାନ ଅଙ୍କମାନଙ୍କର ଯୋଗଫଳ ମଧ୍ୟରେ ପାର୍ଥକ୍ୟ 0 କିମ୍ବା 11 ର ଗୁଣିତକ ହେବା ଉଚିତ
• ଉଦାହରଣ: 2917 → (2+1) - (9+7) = 3 - 16 = -13 ✗
• ଉଦାହରଣ: 91827 → (9+8+7) - (1+2) = 24 - 3 = 21 ✗
• ଉଦାହରଣ: 1331 → (1+3) - (3+1) = 4 - 4 = 0 ✓

🔢 ମୌଳିକ ଓ ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା

ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା

• ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଠିକ୍ ଦୁଇଟି ଗୁଣିତାକ (1 ଓ ନିଜେ)
• ପ୍ରଥମ 10ଟି ମୌଳିକ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
• 2 ହେଉଛି ଏକମାତ୍ର ଜୋଡ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା

ଯୌଗିକ ସଂଖ୍ୟା

• ସଂଖ୍ୟା ଯାହାର ଦୁଇଟିଠାରୁ ଅଧିକ ଗୁଣିତାକ ଅଛି
• 1 ନ ତ ମୌଳିକ ନ ତ ଯୌଗିକ

ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ପରୀକ୍ଷା

2 ରୁ √n ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବିଭାଜ୍ୟତା ଯାଞ୍ଚ କର କୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ ନୁହେଁ → ମୌଳିକ

📐 LCM ଓ HCF

ଉଚ୍ଚତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତାକ (HCF/GCD)

ପଦ୍ଧତି:

1. ମୌଳିକ ଗୁଣନଫଳ ପଦ୍ଧତି

HCF = ସାଧାରଣ ମୌଳିକ ଗୁଣିତାକମାନଙ୍କର ସବୁଠାରୁ କମ ଘାତ ସହ ଗୁଣନଫଳ

ଉଦାହରଣ: 72 ଓ 108 ର HCF

• 72 = 2³ × 3²
• 108 = 2² × 3³
• HCF = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

2. ଭାଗକାର ପଦ୍ଧତି

ଭାଗ କରିବାକୁ ଚାଲୁ ରଖ ଯେପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅବଶେଷ 0 ନ ହୁଏ ଶେଷ ଅଶୂନ୍ୟ ଅବଶେଷ ହେଉଛି HCF

ନ୍ୟୁନତମ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତାକ (LCM)

ପଦ୍ଧତି:

1. ମୌଳିକ ଗୁଣନଫଳ ପଦ୍ଧତି

LCM = ସମସ୍ତ ମୌଳିକ ଗୁଣିତାକମାନଙ୍କର ସବୁଠାରୁ ବେଶୀ ଘାତ ସହ ଗୁଣନଫଳ

ଉଦାହରଣ: 72 ଓ 108 ର LCM

• 72 = 2³ × 3²
• 108 = 2² × 3³
• LCM = 2³ × 3³ = 8 × 27 = 216

2. ଭାଗକାର ପଦ୍ଧତି

ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରିବାକୁ ଚାଲୁ ରଖ ସମସ୍ତ ଭାଜକ ଓ ବାକି ସଂଖ୍ୟାମାନେ ଗୁଣ

ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ପର୍କ

ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନଫଳ = HCF × LCM

ଉଦାହରଣ: 72 ଏବଂ 108 ପାଇଁ

• 72 × 108 = 7776
• ଗସାଗୁ ଲଘୁତ୍ତମ ଗୁଣକ × ଗସାଗୁ ବୃହତ୍ତମ ସାପେକ୍ଷ = 36 × 216 = 7776 ✓

🔢 ଭଗ୍ନାଂଶ ଏବଂ ଦଶମିକ

ଭଗ୍ନାଂଶର ପ୍ରକାର

• ସଠିକ ଭଗ୍ନାଂଶ: ଲଘୁତ୍ତମାନ < ହର (3/4)
• ଅସଠିକ ଭଗ୍ନାଂଶ: ଲଘୁତ୍ତମାନ > ହର (7/4)
• ମିଶ୍ର ଭଗ୍ନାଂଶ: ପୂର୍ଣ୍ଣ + ସଠିକ (1¾)
• ସମତୁଲ୍ୟ ଭଗ୍ନାଂଶ: ସମାନ ମୂଲ୍ୟ, ଭିନ୍ନ ରୂପ (1/2 = 2/4)

ଭଗ୍ନାଂଶ ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ

ଯୋଗ/ବିୟୋଗ

a/b ± c/d = (ad ± bc)/bd

ଗୁଣନ

(a/b) × (c/d) = ac/bd

ଭାଗ

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/bc

ସମାପ୍ତ ଏବଂ ଅସମାପ୍ତ ଦଶମିକ

ସମାପ୍ତ ଦଶମିକ

• ହର ରେ କେବଳ 2 ଏବଂ 5 ପ୍ରଧାନ ଅଙ୍କ ଅଛି
• ଉଦାହରଣ: 1/8 = 0.125, 3/20 = 0.15

ଅସମାପ୍ତ ପୁନରାବୃତ୍ତି ଦଶମିକ

• ହର ରେ 2 ଏବଂ 5 ବ୍ୟତୀତ ଅନ୍ୟ ପ୍ରଧାନ ଅଙ୍କ ଅଛି
• ଉଦାହରଣ: 1/3 = 0.333…, 1/7 = 0.142857…

🎯 ସର୍ଡ ଏବଂ ଘାତ

ଘାତ ନିୟମ

ମୌଳିକ ନିୟମ

a^m × a^n = a^(m+n)
a^m ÷ a^n = a^(m-n)
(a^m)^n = a^(mn)
a^0 = 1 (a ≠ 0)
a^(-n) = 1/a^n

ଭଗ୍ନାତ୍ମକ ଘାତ

a^(1/n) = ⁿ√a
a^(m/n) = (ⁿ√a)^m

ସର୍ଡ ସରଳୀକରଣ

ହର କରଣୀକୃତ କରିବା

1/√a = √a/a
1/(√a + √b) = (√a - √b)/(a - b)
1/(√a - √b) = (√a + √b)/(a - b)

📊 ସଂଖ୍ୟା ଶ୍ରେଣୀ ପାଟର୍ନ

ସମାନ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ (AP)

ସୂତ୍ର: a, a+d, a+2d, a+3d, …
ପ୍ରଥମ ପଦ: a
ସାଧାରଣ ଅନ୍ତର: d
nତମ ପଦ: a + (n-1)d
n ପଦର ଯୋଗଫଳ: n/2 × [2a + (n-1)d]

ଗୁଣୋତ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ (GP)

ସୂତ୍ର: a, ar, ar², ar³, … ପ୍ରଥମ ପଦ: a ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ: r nତମ ପଦ: a × r^(n-1) n ପଦର ଯୋଗଫଳ: a(r^n - 1)/(r - 1) ଯେତେବେଳେ r ≠ 1

ବିଶେଷ ଶ୍ରେଣୀ

ପ୍ରଥମ n ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ = n(n+1)/2 ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳ = n(n+1)(2n+1)/6 ଘନର ଯୋଗଫଳ = [n(n+1)/2]²

🧮 ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଓ କৌଶଳ

ବର୍ଗ ସଂଖ୍ୟା

1² = 1 11² = 121 21² = 441 2² = 4 12² = 144 22² = 484 3² = 9 13² = 169 23² = 529 4² = 16 14² = 196 24² = 576 5² = 25 15² = 225 25² = 625 6² = 36 16² = 256 26² = 676 7² = 49 17² = 289 27² = 729 8² = 64 18² = 324 28² = 784 9² = 81 19² = 361 29² = 841 10² = 100 20² = 400 30² = 900

ଘନ ସଂଖ୍ୟା

1³ = 1 6³ = 216 11³ = 1331 2³ = 8 7³ = 343 12³ = 1728 3³ = 27 8³ = 512 13³ = 2197 4³ = 64 9³ = 729 14³ = 2744 5³ = 125 10³ = 1000 15³ = 3375

ଗୁଣନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ

11 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ଉଦାହରଣ: 35 × 11 = 385 ପଦ 1: 3 _ 5 ପଦ 2: 3 (3+5) 5 = 385

9 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ସଂଖ୍ୟା × 9 = (ସଂଖ୍ୟା × 10) - ସଂଖ୍ୟା ଉଦାହରଣ: 47 × 9 = 470 - 47 = 423

99 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ

ସଂଖ୍ୟା × 99 = (ସଂଖ୍ୟା × 100) - ସଂଖ୍ୟା ଉଦାହରଣ: 67 × 99 = 6700 - 67 = 6633

📈 ଏକକ ଅଙ୍କ ପାଟର୍ଣ

ଏକକ ଅଙ୍କର ଚକ୍ରିତା

2, 3, 7, 8: 4 ର ଚକ୍ର 4, 9: 2 ର ଚକ୍ର 0, 1, 5, 6: ସବୁବେଳେ ସମାନ

ଉଦାହରଣ: 7²³ ର ଏକକ ଅଙ୍କ ବାହାର କର

• 7 ର 4 ର ଚକ୍ର: 7, 9, 3, 1
• 23 ÷ 4 = 5 ଅବଶିଷ୍ଟ 3
• ଚକ୍ରର 3ତମ ସ୍ଥାନ = 3
• ଏକକ ଅଙ୍କ = 3

🎯 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ର

ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି

ଗଡ଼ = (ସମସ୍ତ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ)/(ସଂଖ୍ୟାର ସଂଖ୍ୟା)

କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ

1 ରୁ n ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ = n(n+1)/2 a ରୁ b ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳ = (a + b) × (ପଦ ସଂଖ୍ୟା)/2

ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଧର୍ମ

ସମ + ସମ = ସମ ବିଷମ + ବିଷମ = ସମ ସମ + ବିଷମ = ବିଷମ

ସମ × ସମ = ସମ ବିଷମ × ବିଷମ = ବିଷମ ସମ × ବିଷମ = ସମ

📝 ଅଭ୍ୟାସ ପ୍ରଶ୍ନ

ପ୍ରଶ୍ନ 1:

84 ଓ 144 ର ଗ.ସା.ଗୁ ଓ ଲ.ସା.ଗୁ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର.

ସମାଧାନ:

• 84 = 2² × 3 × 7
• 144 = 2⁴ × 3²
• ଗ.ସା.ଗୁ = 2² × 3 = 12
• ଲ.ସା.ଗୁ = 2⁴ × 3² × 7 = 1008

ପ୍ରଶ୍ନ 2:

3⁴⁵ × 7²⁸ ର ଏକକ ଅଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର.

ସମାଧାନ:

• 3 ର ଚକ୍ର 4: 3, 9, 7, 1. 45 ÷ 4 = 11 ଅବଶିଷ୍ଟ 1 → 3
• 7 ର ଚକ୍ର 4: 7, 9, 3, 1. 28 ÷ 4 = 7 ଅବଶିଷ୍ଟ 0 → 1
• 3 × 1 = 3
• ଏକକ ଅଙ୍କ = 3

🔗 ସମ୍ବନ୍ଧିତ ବିଷୟ

• Simplification - ସରଳୀକରଣ କৌଶଳ
• Average - ଗଡ଼ ଗଣନା
• Ratio and Proportion - ଅନୁପାତ ସମସ୍ୟା
• Percentage - ଶତକଡା ଗଣନା

📚 ଆଗକୁ ପଢ଼ନ୍ତୁ