ହାରାହାରି - ତତ୍ତ୍ୱ ଏବଂ ଧାରଣା

📊 ଗଡ଼ - ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

ଗଡ଼ ଗଣନା ମାଷ୍ଟର କରନ୍ତୁ - ଡାଟା ଇଣ୍ଟରପ୍ରେଟେସନ୍ ପାଇଁ ଭିତ୍ତି!

🎯 ଗଡ଼ କଣ?

ଗଡ଼ ହେଉଛି ଏକ ସଂଖ୍ୟା ସମୂହର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ମୂଲ୍ୟ।ସୂତ୍ର:

ଗଡ଼ = ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟର ଯୋଗ / ମୂଲ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା

ଗଡ଼ = ମୋଟ / ଗଣନା

ମୁଖ୍ୟ ଧାରଣା: ଗଡ଼ “ହାର” କିମ୍ବା “ସାଧାରଣ” ମୂଲ୍ୟକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

📐 ମୌଳିକ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ

ସୂତ୍ର 1: ମୌଳିକ ଗଡ଼

ଯଦି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ a₁, a₂, a₃, …, aₙ

ଗଡ଼ = (a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ) / n

ଉଦାହରଣ: 10, 20, 30, 40, 50 ର ଗଡ଼

ଗଡ଼ = (10 + 20 + 30 + 40 + 50) / 5 = 150 / 5 = 30

ସୂତ୍ର 2: ଗଡ଼ରୁ ଯୋଗ ବାହାର କରିବା

ଯୋଗ = ଗଡ଼ × ମୂଲ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା

ଯଦି ଗଡ଼ = A ଏବଂ ଗଣନା = n ଯୋଗ = A × n

ଉଦାହରଣ: 5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଗଡ଼ 40। ଯୋଗ ବାହାର କର।

ଯୋଗ = 40 × 5 = 200

ସୂତ୍ର 3: ଗଡ଼ରୁ ଗଣନା ବାହାର କରିବା

ମୂଲ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା = ଯୋଗ / ଗଡ଼

ଗଣନା = ମୋଟ / ଗଡ଼

💡 ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ

1. କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟାର ଗଡ଼

ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା (1, 2, 3, …n):

ଗଡ଼ = (n + 1) / 2

ଉଦାହରଣ: 1 ରୁ 100 ର ଗଡ଼ = (100 + 1) / 2 = 50.5

ଯେକୌଣସି କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା (a ରୁ b):

ଗଡ଼ = (ପ୍ରଥମ + ଶେଷ) / 2 = (a + b) / 2

ଉଦାହରଣ: 21 ରୁ 30 ର ଗଡ଼ = (21 + 30) / 2 = 25.5

2. ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (AP) ର ଗଡ଼

AP ଶ୍ରେଣୀ ପାଇଁ:

ଗଡ଼ = (ପ୍ରଥମ ପଦ + ଶେଷ ପଦ) / 2

ଉଦାହରଣ: 5, 10, 15, 20, 25 ଗଡ଼ = (5 + 25) / 2 = 15

3. କ୍ରମିକ ଜୋଡ/ବିଜୋଡ ସଂଖ୍ୟାର ଗଡ଼

ଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟା (2, 4, 6, …2n):

ହାର = (ପ୍ରଥମ + ଶେଷ) / 2 = n + 1

ଉଦାହରଣ: 2, 4, 6, 8, 10 ହାର = (2 + 10) / 2 = 6

ବିଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟା (1, 3, 5, …, 2n-1):

ହାର = (ପ୍ରଥମ + ଶେଷ) / 2 = n

ଉଦାହରଣ: 1, 3, 5, 7, 9 ହାର = (1 + 9) / 2 = 5

🔄 ହାରରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ

ଯେତେବେଳେ ନୂଆ ମୂଲ୍ୟ ଯୋଗ ହୁଏ

ନୂଆ ହାର = ପୁରୁଣା ହାର + (ଯୋଗ ହୋଇଥିବା ମୂଲ୍ୟ - ପୁରୁଣା ହାର) / (n + 1)

କିମ୍ବା ସରଳ: ନୂଆ ଯୋଗଫଳ = ପୁରୁଣା ଯୋଗଫଳ + ଯୋଗ ହୋଇଥିବା ମୂଲ୍ୟ ନୂଆ ହାର = ନୂଆ ଯୋଗଫଳ / ନୂଆ ସଂଖ୍ୟା

ଉଦାହରଣ: 5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାର 20। 30 ଯୋଗ ହେଲେ, ନୂଆ ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ପୁରୁଣା ଯୋଗଫଳ = 20 × 5 = 100 ନୂଆ ଯୋଗଫଳ = 100 + 30 = 130 ନୂଆ ହାର = 130 / 6 = 21.67

ଯେତେବେଳେ ମୂଲ୍ୟ ହଟାଯାଏ

ନୂଆ ହାର = (ପୁରୁଣା ଯୋଗଫଳ - ହଟାଯାଇଥିବା ମୂଲ୍ୟ) / (n - 1)

ଉଦାହରଣ: 6 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାର 25। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 40 ହଟାଯାଇଛି, ନୂଆ ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ପୁରୁଣା ଯୋଗଫଳ = 25 × 6 = 150 ନୂଆ ଯୋଗଫଳ = 150 - 40 = 110 ନୂଆ ହାର = 110 / 5 = 22

ଯେତେବେଳେ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ ହୁଏ

ନୂଆ ହାର = ପୁରୁଣା ହାର + (ନୂଆ ମୂଲ୍ୟ - ପୁରୁଣା ମୂଲ୍ୟ) / n

ଉଦାହରଣ: 5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାର 30। ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 25 କୁ 40 ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ କରାଯାଇଛି। ନୂଆ ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ପରିବର୍ତ୍ତନ = 40 - 25 = 15 ନୂଆ ହାର = 30 + (15 / 5) = 30 + 3 = 33

⚖️ ଓଜନିତ ହାର

ଯେତେବେଳେ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ “ଓଜନ” (ଗୁରୁତ୍ୱ) ଥାଏ:

ଓଜନିତ ହାର = (w₁ × v₁ + w₂ × v₂ + … + wₙ × vₙ) / (w₁ + w₂ + … + wₙ)

ଯେଉଁଠି: w = ଓଜନ (ବାରମ୍ବାରତା, ଗୁରୁତ୍ୱ) v = ମୂଲ୍ୟ

ଉଦାହରଣ: ଛାତ୍ରଟି କ୍ୱାଣ୍ଟ (3 କ୍ରେଡିଟ୍)ରେ 80, ଇଂରାଜୀ (2 କ୍ରେଡିଟ୍)ରେ 70, ରିଜନିଂ (3 କ୍ରେଡିଟ୍)ରେ 90 ପାଇଛି। ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ଓଜାର୍ଡ ହାରାହାରି = (3×80 + 2×70 + 3×90) / (3 + 2 + 3)
= (240 + 140 + 270) / 8
= 650 / 8
= 81.25

💡 ସମାଧାନ କରାଯାଇଥିବା ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 1: ମୌଳିକ ହାରାହାରି

ପ୍ରଶ୍ନ: 15, 25, 35, 45, 55 ର ହାରାହାରି ବାହାର କର |ସମାଧାନ:

ଯୋଗ = 15 + 25 + 35 + 45 + 55 = 175
ସଂଖ୍ୟା = 5

ହାରାହାରି = 175 / 5 = 35

ଉତ୍ତର: 35

ଉଦାହରଣ 2: ଅନୁପସ୍ଥିତ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜିବା

ପ୍ରଶ୍ନ: 5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 40 । ଚାରିଟି ସଂଖ୍ୟା 35, 38, 42, 45 । ପଞ୍ଚମ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜ |ସମାଧାନ:

5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ = 40 × 5 = 200
ଜଣାଥିବା 4 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ = 35 + 38 + 42 + 45 = 160

ପଞ୍ଚମ ସଂଖ୍ୟା = 200 - 160 = 40

ଉତ୍ତର: 40

ଉଦାହରଣ 3: ବୟସ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ସମସ୍ୟା

ପ୍ରଶ୍ନ: 10 ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 15 ବର୍ଷ । ଶିକ୍ଷକଙ୍କର ବୟସ 45 ବର୍ଷ ଯୋଗ କଲେ, ନୂଆ ହାରାହାରି ବାହାର କର |ସମାଧାନ:

10 ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କର ମୋଟ ବୟସ = 15 × 10 = 150
ଶିକ୍ଷକଙ୍କୁ ସମେତ ମୋଟ ବୟସ = 150 + 45 = 195
ମୋଟ ଲୋକସଂଖ୍ୟା = 10 + 1 = 11

ନୂଆ ହାରାହାରି = 195 / 11 = 17.73 ବର୍ଷ (ପ୍ରାୟ)

ଉତ୍ତର: 17.73 ବର୍ଷ

ଉଦାହରଣ 4: କ୍ରମିକ ସଂଖ୍ୟା

ପ୍ରଶ୍ନ: ପ୍ରଥମ 50 ଟି ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି ବାହାର କର |ସମାଧାନ:

ପଦ୍ଧତି 1: ସୂତ୍ର
ହାରାହାରି = (n + 1) / 2 = (50 + 1) / 2 = 25.5

ପଦ୍ଧତି 2: ପ୍ରଥମ + ଶେଷ
ହାରାହାରି = (1 + 50) / 2 = 25.5

ଉତ୍ତର: 25.5

ଉଦାହରଣ 5: ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ

ପ୍ରଶ୍ନ: 6 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 30 । ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 36 କୁ 48 ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ କରାଗଲା । ନୂଆ ହାରାହାରି ବାହାର କର |ସମାଧାନ:

ପରିବର୍ତ୍ତନ = 48 - 36 = 12
ପ୍ରତି ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ପରିବର୍ତ୍ତନ = 12 / 6 = 2

ନୂଆ ହାରାହାରି = 30 + 2 = 32

ଉତ୍ତର: 32

ଉଦାହରଣ ୬: ଭୁଲ ଗଣନା

ପ୍ରଶ୍ନ: ୧୦ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 25 ଭାବରେ ଗଣନା କରାଯାଇଥିଲା। ପରେ ଜଣାପଡ଼ିଲା ଯେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା 30କୁ ଭୁଲ କରି 50 ପଢ଼ାଯାଇଥିଲା। ସଠିକ୍ ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।ସମାଧାନ:

ଭୁଲ ଯୋଗଫଳ = 25 × 10 = 250
ଅନ୍ତର = 50 - 30 = 20 (ଅଧିକ)
ସଠିକ୍ ଯୋଗଫଳ = 250 - 20 = 230

ସଠିକ୍ ହାରାହାରି = 230 / 10 = 23

ଉତ୍ତର: 23

ଉଦାହରଣ ୭: ଗତି ହାରାହାରି

ପ୍ରଶ୍ନ: ଗାଡ଼ି 40 km 30 km/hr ରେ ଓ ପରବର୍ତ୍ତୀ 40 km 60 km/hr ରେ ଯାଏ। ହାରାହାରି ଗତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।ସମାଧାନ:

⚠️ ହାରାହାରି ଗତି ≠ (30 + 60) / 2 ❌

ହାରାହାରି ଗତି = ମୋଟ ଦୂରତ୍ଵ / ମୋଟ ସମୟ

ସମୟ₁ = 40 / 30 = 4/3 ଘଣ୍ଟା
ସମୟ₂ = 40 / 60 = 2/3 ଘଣ୍ଟା
ମୋଟ ସମୟ = 4/3 + 2/3 = 2 ଘଣ୍ଟା

ହାରାହାରି ଗତି = 80 / 2 = 40 km/hr

ଉତ୍ତର: 40 km/hrସମାନ ଦୂରତ୍ଵ ପାଇଁ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ନିୟମ:

ହାରାହାରି ଗତି = (2 × s₁ × s₂) / (s₁ + s₂)
= (2 × 30 × 60) / (30 + 60)
= 3600 / 90
= 40 km/hr

📊 ବିଶେଷ ପ୍ୟାଟର୍ନ

ପ୍ୟାଟର୍ନ ୧: ଲାଗାତାର ଶ୍ରେଣୀ

ପ୍ରଥମ n ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟା: (n + 1) / 2
ପ୍ରଥମ n ଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟା: n + 1
ପ୍ରଥମ n ବିଜୋଡ଼ ସଂଖ୍ୟା: n
k ର ଗୁଣିତ ସଂଖ୍ୟା k ଠାରୁ kn ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ: k(n + 1) / 2

ଉଦାହରଣ:

1, 2, 3, …, 100 ର ହାରାହାରି = 50.5
2, 4, 6, …, 100 ର ହାରାହାରି = 51
1, 3, 5, …, 99 ର ହାରାହାରି = 50
5, 10, 15, …, 100 ର ହାରାହାରି = 52.5

ପ୍ୟାଟର୍ନ ୨: ଗୋଷ୍ଠୀକରଣ ପଦ୍ଧତି

ଯଦି ‘a’ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି A ଏବଂ
‘b’ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି B:

ମିଶ୍ରିତ ହାରାହାରି = (a×A + b×B) / (a + b)

ଉଦାହରଣ: ୬ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 20, ୪ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 30। ମିଶ୍ରିତ ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସଂଯୁକ୍ତ = (6×20 + 4×30) / (6 + 4) = (120 + 120) / 10 = 24

ପାଟିଅନ 3: ସମାନ ବଣ୍ଟନ

ଯଦି ଯୋଗଫଳ ‘x’ ଦ୍ୱାରା ବଢ଼େ ଏବଂ ଗଣନା ’n’ ଦ୍ୱାରା ବଢ଼େ: ନୂଆ ହାରାହାରି x/n ଦ୍ୱାରା ବଢ଼େ

⚡ ଝଟକା ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 1: କ୍ରମାଗତ ସଂଖ୍ୟା

ହାରାହାରି = ମଧ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା (ଯଦି ବିଜୋଡ଼ ଗଣନା) ହାରାହାରି = ଦୁଇ ମଧ୍ୟ ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି (ଯଦି ଜୋଡ଼ ଗଣନା)

ଉଦାହରଣ: 11, 12, 13, 14, 15 ହାରାହାରି = 13 (ମଧ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା)

ଉଦାହରଣ: 10, 11, 12, 13 ହାରାହାରି = (11 + 12) / 2 = 11.5

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 2: ବିଚ୍ୟୁତି ପଦ୍ଧତି

ଯେକୌଣସି ମୂଲ୍ୟକୁ ହାରାହାରି ଭାବେ ଧରିନିଅ (ସାଧାରଣତଃ ମଧ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ) ଧାରିତ ମୂଲ୍ୟରୁ ବିଚ୍ୟୁତି ଖୋଜ ପ୍ରକୃତ ହାରାହାରି = ଧାରିତ ହାରାହାରି + (ବିଚ୍ୟୁତି ଯୋଗ / ଗଣନା)

ଉଦାହରଣ: 47, 51, 53, 49, 55 ର ହାରାହାରି ଖୋଜ

ଧାରିତ ହାରାହାରି = 50

ବିଚ୍ୟୁତି: (47-50), (51-50), (53-50), (49-50), (55-50) = -3, +1, +3, -1, +5 ବିଚ୍ୟୁତି ଯୋଗ = 5

ହାରାହାରି = 50 + (5/5) = 50 + 1 = 51

ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉପାୟ 3: ପ୍ରଥମ n ସଂଖ୍ୟା ପାଟିଅନ

ପ୍ରଥମ n ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗ = n(n+1)/2 ହାରାହାରି = (n+1)/2

ମନେ�ଖ: 1 ରୁ 10 → ହାରାହାରି = 5.5 1 ରୁ 100 → ହାରାହାରି = 50.5 1 ରୁ 1000 → ହାରାହାରି = 500.5

⚠️ ସାଧାରଣ ଭୁଲ

❌ ଭୁଲ 1: ହାରାହାରି ଗତି

ଭୁଲ: ହାରାହାରି ଗତି = (s₁ + s₂) / 2 ✗ ଠିକ: ହାରାହାରି ଗତି = ମୋଟ ଦୂରତା / ମୋଟ ସମୟ ✓

❌ ଭୁଲ 2: ଓଜନିତ ହାରାହାରି

ଭୁଲ: ଭିନ୍ନ ବାରମ୍ବାରତା ଥିଲେ ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟକୁ ସମାନ ଭାବେ ଦେଖା ✗ ଠିକ: ଓଜନିତ ହାରାହାରି ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କର ✓

❌ ଭୁଲ 3: ହାରାହାରି ଯୋଗ

ଭୁଲ: ଦୁଇଟି ଦଳର ହାରାହାରି = (ହାରାହାରି₁ + ହାରାହାରି₂) / 2 ✗
ଠିକ: ପ୍ରତ୍ୟେକ ଦଳର ସଂଖ୍ୟା ବିଚାର କରିବା ପଡିବ ✓
ସମ୍ମିଳିତ = (n₁×ହାରାହାରି₁ + n₂×ହାରାହାରି₂) / (n₁ + n₂)

❌ ଭୁଲ 4: ଜୋଡ/ବିଜୋଡ କ୍ରମିକ

2, 4, 6, 8, 10 ପାଇଁ:
ଭୁଲ: ହାରାହାରି = 5 + 1 = 6 (ବିଜୋଡ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର) ✗
ଠିକ: ହାରାହାରି = (2 + 10) / 2 = 6 ✓

📝 ଅଭ୍ୟାସ ସମସ୍ୟା

ସ୍ତର 1:

12, 18, 24, 30, 36 ର ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
8 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 15 ଅଟେ। ସେମାନେର ଯୋଗଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
ପ୍ରଥମ 20 ସ୍ୱାଭାବିକ ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର

ସ୍ତର 2:

5 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 40 ଅଟେ। ଯଦି ଏକ ସଂଖ୍ୟା 50 ଯୋଗ କରାଯାଏ, ନୂଆ ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
10 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 25 ଅଟେ। ଏକ ସଂଖ୍ୟା 20 କୁ 30 ବୋଲି ଭୁଲ ପଢ଼ାଯାଇଛି। ଠିକ ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
6 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 30 ଅଟେ। ଯଦି ପ୍ରଥମ 3 ଟିର ହାରାହାରି 25 ଅଟେ, ଶେଷ 3 ଟିର ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର

ସ୍ତର 3:

40 ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କର ହାରାହାରି ବୟସ 15 ବର୍ଷ ଅଟେ। ଯଦି ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ ଯୋଗ କରାଯାଏ, ହାରାହାରି 16 ହୁଏ। ଶିକ୍ଷକଙ୍କ ବୟସ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
ଗାଡ଼ି 2 ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ 40 କିମି/ଘଣ୍ଟା ଓ 3 ଘଣ୍ଟା ପାଇଁ 60 କିମି/ଘଣ୍ଟା ବେଗରେ ଯାଏ। ହାରାହାରି ବେଗ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର
20 ଟି ସଂଖ୍ୟାର ହାରାହାରି 50 ଅଟେ। ପରେ 2 ଟି ସଂଖ୍ୟା 45 ଓ 55 କୁ ହଟାଇ ଦିଆଯାଏ। ନୂଆ ହାରାହାରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର